(a) 使用 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r$ 和 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^2$ 的公式证明 $\sum_{r=1}^{n} (r + 1)(r + 5) = \frac{1}{6}n(n + 7)(2n + 7)$ 对于所有正整数 $n$ 成立。

(b) 由此证明 $\sum_{r=n+1}^{2n} (r + 1)(r + 5) = \frac{7}{6}n(n + 1)(an + b)$ 其中 $a$ 和 $b$ 为待确定的整数。

先展开 $(r+1)(r+5)$，把原和式拆成平方和、等差数列之和与常数项之和。代入题目指定的求和公式后，提取公因子并因式分解，即可得到目标形式。

Expanding the summand gives

Therefore,

This is the required result.

承接 (a)，把从 $n+1$ 到 $2n$ 的和写成“前 $2n$ 项之和减去前 $n$ 项之和”。分别把 $2n$ 与 $n$ 代入 (a) 的结果，再提取公因式并与题目给定形式比较。

Let $S_m$ denote the sum of the first $m$ terms of $(r+1)(r+5)$.

Using the result from part (a),

Therefore,

Comparing this with

we obtain