题目

Problem

5. (a) Using the formulae for $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r$ and $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^2$ , show that

\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{n}(r+1)(r+5)\\ =&\,\frac16 n(n+7)(2n+7) \end{align*}

for all positive integers $n$ .

(5)

(b) Hence show that

\begin{align*} &\,\sum_{r=n+1}^{2n}(r+1)(r+5)\\ =&\,\frac76 n(n+1)(an+b) \end{align*}

where $a$ and $b$ are integers to be determined.

(2)

题目中文翻译

(a) 使用 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r$ 和 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^2$ 的公式证明

\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{n}(r+1)(r+5)\\ =&\,\frac16 n(n+7)(2n+7) \end{align*}

对于所有正整数 $n$ 成立。

(5)

(b) 由此证明

\begin{align*} &\,\sum_{r=n+1}^{2n}(r+1)(r+5)\\ =&\,\frac76 n(n+1)(an+b) \end{align*}

其中 $a$ 和 $b$ 为待确定的整数。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先展开 $(r+1)(r+5)$ ，把原和式拆成平方和、等差数列之和与常数项之和。代入题目指定的求和公式后，提取公因子并因式分解，即可得到目标形式。

答题过程

展开

Expanding the summand gives

\begin{align*} &\,(r+1)(r+5)\\ =&\,r^2+6r+5. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,\sum_{r=1}^{n}(r+1)(r+5)\\ =&\,\sum_{r=1}^{n}r^2\\ &\,\hspace{2pt}+6\sum_{r=1}^{n}r+5n\\ =&\,\frac{n(n+1)(2n+1)}6\\ &\,\hspace{2pt}+3n(n+1)+5n\\ =&\,\frac n6\big[(n+1)(2n+1)\\ &\,\hspace{2pt}+18(n+1)+30\big]\\ =&\,\frac n6\big[2n^2+3n+1\\ &\,\hspace{2pt}+18n+18+30\big]\\ =&\,\frac n6\big(2n^2+21n+49\big)\\ =&\,\frac n6\big[(2n^2+14n)\\ &\,\hspace{2pt}+(7n+49)\big]\\ =&\,\frac n6\big[2n(n+7)\\ &\,\hspace{2pt}+7(n+7)\big]\\ =&\,\frac16n(n+7)\\ &\,\hspace{2pt}\times(2n+7). \end{align*}

This is the required result.

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，把从 $n+1$ 到 $2n$ 的和写成“前 $2n$ 项之和减去前 $n$ 项之和”。分别把 $2n$ 与 $n$ 代入 (a) 的结果，再提取公因式并与题目给定形式比较。

答题过程

展开

Let $S_m$ denote the sum of the first $m$ terms of $(r+1)(r+5)$ .

Thus

S_m=\sum_{r=1}^{m}(r+1)(r+5).

Using the result from part (a),

\begin{align*} S_m=&\,\frac16m(m+7)\\ &\,\hspace{2pt}\times(2m+7). \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,\sum_{r=n+1}^{2n}(r+1)(r+5)\\ =&\,S_{2n}-S_n\\ =&\,\frac16(2n)(2n+7)\\ &\,\hspace{2pt}\times(4n+7)\\ &\,\hspace{4pt}-\frac16n(n+7)\\ &\,\hspace{6pt}\times(2n+7)\\ =&\,\frac n6(2n+7)\\ &\,\hspace{2pt}\times\big[2(4n+7)\\ &\,\hspace{4pt}-(n+7)\big]\\ =&\,\frac n6(2n+7)\\ &\,\hspace{2pt}\times(8n+14-n-7)\\ =&\,\frac n6(2n+7)\\ &\,\hspace{2pt}\times(7n+7)\\ =&\,\frac n6(2n+7)\\ &\,\hspace{2pt}\times7(n+1)\\ =&\,\frac76n(n+1)\\ &\,\hspace{2pt}\times(2n+7). \end{align*}

Comparing this with

\begin{align*} &\,\frac76n(n+1)\\ &\,\hspace{2pt}\times(an+b), \end{align*}

we have $an+b=2n+7$ , giving

\boxed{a=2,\qquad b=7}.

FP1 2021 Jan Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程