6. 复数 $z$ 定义为

其中 $\lambda$ 为正实常数。

已知 $z$ 的模为 $5$，

(a) 直接写出 $\lambda$ 的值。

(b) 确定 $z$ 的辐角，答案以弧度表示，保留 $1$ 位小数。

在 (c) 部分中必须展示详细推理过程。 完全依赖计算器技术的解答不可接受。

(c) 将下列表达式表示为 $a + \mathrm{i}b$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为实数，

(i) $\dfrac{z + 3\mathrm{i}}{2 - 4\mathrm{i}}$

(ii) $z^2$

(d) 在同一 Argand 图上表示复数 $z$、$z^*$、$\dfrac{z + 3\mathrm{i}}{2 - 4\mathrm{i}}$ 和 $z^2$ 所对应的点 $A$、$B$、$C$、$D$。

复数 $z=-\lambda+3\mathrm{i}$ 的模为 $\sqrt{\lambda^2+3^2}$。结合 $|z|=5$ 和 $\lambda>0$，即可确定 $\lambda$。

Since $|z|=5$,

Thus $\lambda^2=16$. Since $\lambda>0$,

由 (a) 得 $z=-4+3\mathrm{i}$，对应点在第二象限。先求参考角 $\arctan(3/4)$，再用 $\pi$ 减去参考角，最后按要求保留一位小数。

From part (a),

Since $z$ lies in the second quadrant,

Therefore, to one decimal place,

先代入 $z=-4+3\mathrm{i}$，再把分子、分母同乘分母的共轭复数 $2+4\mathrm{i}$，使分母化为实数。展开时使用 $\mathrm{i}^2=-1$。

Using $z=-4+3\mathrm{i}$,

After multiplication, the numerator is

using $\mathrm{i}^2=-1$. The denominator is

Therefore,

先把所求复数设为 $a+b\mathrm{i}$，移去分母后展开右边。比较实部与虚部可得到两个实数方程，再用消元法求出 $a,b$。

Let

Since $z=-4+3\mathrm{i}$, multiplying by the denominator gives

Expanding the right-hand side,

Equating real and imaginary parts,

Twice the first equation gives $4a+8b=-8$. Adding the second equation gives

Substituting into the first equation,

Hence the required complex number is

把 $z=-4+3\mathrm{i}$ 平方并完整展开，再利用 $\mathrm{i}^2=-1$ 合并实部与虚部。

在 Argand 图上，复数 $a+b\mathrm{i}$ 对应点 $(a,b)$。因此分别取四个复数的实部和虚部作为横、纵坐标，并标上题目指定的字母；其中 $z$ 与 $z^*$ 关于实轴对称。

From the values found above,

and

Plot and label these four points on a single Argand diagram, with $A$ and $B$ symmetric about the real axis.