题目

Problem

The hyperbola $H$ has Cartesian equation $xy = 25$

The parabola $P$ has parametric equations $x = 10t^2$ , $y = 20t$

The hyperbola $H$ intersects the parabola $P$ at the point $A$

(a) Use algebra to determine the coordinates of $A$

(3)

The point $B$ with coordinates $(10, 20)$ lies on $P$

(b) Find an equation for the normal to $P$ at $B$

Give your answer in the form $ax + by + c = 0$ , where $a$ , $b$ and $c$ are integers to be determined.

(5)

(c) Use algebra to determine, in simplest form, the exact coordinates of the points where this normal intersects the hyperbola $H$

(6)

题目中文翻译

双曲线 $H$ 的直角坐标方程为 $xy = 25$ 。

抛物线 $P$ 的参数方程为 $x = 10t^2$ ， $y = 20t$ 。

双曲线 $H$ 与抛物线 $P$ 相交于点 $A$ 。

(a) 用代数方法确定点 $A$ 的坐标。

点 $B$ 的坐标为 $(10, 20)$ ，在 $P$ 上。

(b) 求 $P$ 在点 $B$ 处的法线方程。答案以 $ax + by + c = 0$ 的形式表示，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为待确定的整数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

将抛物线的参数式代入双曲线 $xy=25$ ，得到只含 $t$ 的三次方程。求出实参数后，再代回参数式得到交点坐标。

答题过程

展开

At an intersection of $H$ and $P$ ,

(10t^2)(20t)=25.

Hence

\begin{align*} 200t^3=&\,25,\\ t^3=&\,\frac18,\\ t=&\,\frac12. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} x=&\,10\bigg(\frac12\bigg)^2=\frac52,\\ y=&\,20\bigg(\frac12\bigg)=10. \end{align*}

Thus

\boxed{A\bigg(\frac52,10\bigg)}.

(b)

解法一

思路

展开

先从 $B=(10,20)$ 判断对应参数为 $t=1$ 。对参数方程分别求导，用 $(\mathrm{d}y/\mathrm{d}t)/(\mathrm{d}x/\mathrm{d}t)$ 求切线斜率，再取负倒数得到法线斜率。

答题过程

展开

Since $B=(10,20)$ , the corresponding parameter value is $t=1$ .

From

\begin{align*} x=&\,10t^2,\\ y=&\,20t. \end{align*}

we have

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=&\,20t,\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=&\,20. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{20}{20t}\\ =&\,\frac1t. \end{align*}

At $t=1$ , the tangent gradient is $1$ , so the normal gradient is $-1$ . The normal through $B$ is

y-20=-(x-10).

Therefore, its equation in the required form is

\boxed{x+y-30=0}.

(c)

解法一

思路

展开

联立双曲线 $xy=25$ 与法线 $x+y=30$ 。用 $y=30-x$ 消元得到二次方程，求出两个精确横坐标；再利用两根之和为 $30$ 配对相应纵坐标。

答题过程

展开

From the normal equation,

y=30-x.

Substituting into $xy=25$ gives

x(30-x)=25.

Thus

x^2-30x+25=0.

Using the quadratic formula,

\begin{align*} x =&\,\frac{30\pm\sqrt{30^2-4(1)(25)}}2\\ =&\,\frac{30\pm\sqrt{800}}2\\ =&\,15\pm10\sqrt2. \end{align*}

Since $y=30-x$ , when $x=15+10\sqrt2$ ,

y=15-10\sqrt2,

and when $x=15-10\sqrt2$ ,

y=15+10\sqrt2.

Therefore, the two points of intersection are

\boxed{\big(15+10\sqrt2,\ 15-10\sqrt2\big)}

and

\boxed{\big(15-10\sqrt2,\ 15+10\sqrt2\big)}.

IAL 2021 Jan FP1 Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程