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FP1 2021 June Q2

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2021 June Paper · Question 2

题目

Problem

2. The complex numbers z1z_1, z2z_2 and z3z_3 are given by

z1= 2−i,z2= p−i,z3= p+i.\begin{align*} z_1=&\,2-\mathrm{i},\\ z_2=&\,p-\mathrm{i},\\ z_3=&\,p+\mathrm{i}. \end{align*}

where pp is a real number.

(a) Find z2z3z1\dfrac{z_2 z_3}{z_1} in the form a+bia + b\mathrm{i} where aa and bb are real. Give your answer in its simplest form in terms of pp.

(3)

Given that ∣z2z3z1∣=25\left|\dfrac{z_2 z_3}{z_1}\right| = 2\sqrt{5}

(b) find the possible values of pp.

(4)
题目中文翻译
  1. 复数 z1z_1、z2z_2 和 z3z_3 定义如下：
z1= 2−i,z2= p−i,z3= p+i.\begin{align*} z_1=&\,2-\mathrm{i},\\ z_2=&\,p-\mathrm{i},\\ z_3=&\,p+\mathrm{i}. \end{align*}

其中 pp 是实数。

(a) 将 z2z3z1\dfrac{z_2 z_3}{z_1} 表示为 a+bia + b\mathrm{i} 的形式，其中 aa 和 bb 是实数。答案用 pp 表示并化为最简形式。

(3)

已知 ∣z2z3z1∣=25\left|\dfrac{z_2 z_3}{z_1}\right| = 2\sqrt{5}

(b) 求 pp 的可能值。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先利用 (p−i)(p+i)(p-\mathrm{i})(p+\mathrm{i}) 是共轭复数乘积，把分子化为实数 p2+1p^2+1。再把分子、分母同乘 2+i2+\mathrm{i}，使分母实数化，最后分开实部和虚部。

答题过程

展开

Using i2=−1\mathrm{i}^2=-1,

z2z3= (p−i)(p+i)= p2+pi−pi−i2= p2+1.\begin{align*} z_2z_3=&\,(p-\mathrm{i})(p+\mathrm{i})\\ =&\,p^2+p\mathrm{i}-p\mathrm{i}-\mathrm{i}^2\\ =&\,p^2+1. \end{align*}

Also,

 (2−i)(2+i)= 4+2i−2i−i2= 5.\begin{align*} &\,(2-\mathrm{i})(2+\mathrm{i})\\ =&\,4+2\mathrm{i}-2\mathrm{i}-\mathrm{i}^2\\ =&\,5. \end{align*}

Therefore,

 z2z3z1= (p−i)(p+i)2−i= p2+12−i ×2+i2+i= (p2+1)(2+i)5= 2(p2+1)5+p2+15i.\begin{align*} &\,\frac{z_2z_3}{z_1}\\ =&\,\frac{(p-\mathrm{i})(p+\mathrm{i})}{2-\mathrm{i}}\\ =&\,\frac{p^2+1}{2-\mathrm{i}}\\ &\,\hspace{2pt}\times\frac{2+\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}\\ =&\,\frac{(p^2+1)(2+\mathrm{i})}{5}\\ =&\,\boxed{ \frac{2(p^2+1)}5 +\frac{p^2+1}{5}\mathrm{i} }. \end{align*}

解法二

思路

展开

设所求复数为 a+bia+b\mathrm{i}，与原式交叉相乘。展开后比较实部、虚部，得到关于 a,ba,b 的联立方程并求解。

答题过程

展开

Let

z2z3z1=a+bi.\frac{z_2z_3}{z_1}=a+b\mathrm{i}.

Since z2z3=p2+1z_2z_3=p^2+1,

p2+1=(a+bi)(2−i).p^2+1=(a+b\mathrm{i})(2-\mathrm{i}).

Expanding the right-hand side gives

 (a+bi)(2−i)= 2a−ai+2bi−bi2= (2a+b)+(2b−a)i.\begin{align*} &\,(a+b\mathrm{i})(2-\mathrm{i})\\ =&\,2a-a\mathrm{i}+2b\mathrm{i}-b\mathrm{i}^2\\ =&\,(2a+b)+(2b-a)\mathrm{i}. \end{align*}

Equating real and imaginary parts,

2a+b= p2+1,2b−a= 0.\begin{align*} 2a+b=&\,p^2+1,\\ 2b-a=&\,0. \end{align*}

Thus a=2ba=2b, so

2(2b)+b= p2+1,4b+b= p2+1,5b= p2+1.\begin{align*} 2(2b)+b=&\,p^2+1,\\ 4b+b=&\,p^2+1,\\ 5b=&\,p^2+1. \end{align*}

Hence

a= 2(p2+1)5,b= p2+15.\begin{align*} a=&\,\frac{2(p^2+1)}5,\\ b=&\,\frac{p^2+1}{5}. \end{align*}

Therefore,

 z2z3z1= 2(p2+1)5+p2+15i.\begin{align*} &\,\frac{z_2z_3}{z_1}\\ =&\,\boxed{\frac{2(p^2+1)}5 +\frac{p^2+1}{5}\mathrm{i}}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，用复数 a+bia+b\mathrm{i} 的模长公式。由于 p2+1>0p^2+1>0，平方后解出的 p2+1=10p^2+1=10 不会引入符号歧义，最后取平方根得到两个实数解。

答题过程

展开

Using part (a),

 ∣z2z3z1∣2= (2(p2+1)5)2 +(p2+15)2= 4(p2+1)225 +(p2+1)225= 5(p2+1)225= (p2+1)25.\begin{align*} &\,\bigg|\frac{z_2z_3}{z_1}\bigg|^2\\ =&\,\bigg(\frac{2(p^2+1)}5\bigg)^2\\ &\,\hspace{2pt}+\bigg(\frac{p^2+1}{5}\bigg)^2\\ =&\,\frac{4(p^2+1)^2}{25}\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{(p^2+1)^2}{25}\\ =&\,\frac{5(p^2+1)^2}{25}\\ =&\,\frac{(p^2+1)^2}{5}. \end{align*}

Given that the modulus is 252\sqrt5,

(p2+1)25= (25)2,(p2+1)2= 5(20)= 100.\begin{align*} \frac{(p^2+1)^2}{5}=&\,(2\sqrt5)^2,\\ (p^2+1)^2=&\,5(20)\\ =&\,100. \end{align*}

Since p2+1>0p^2+1>0,

p2+1=10.p^2+1=10.

Therefore,

p2=9,p^2=9,

so the possible values are

p=3orp=−3.\boxed{p=3\quad\text{or}\quad p=-3}.

解法二

思路

展开

利用模长的乘除法性质，直接把商的模写成 ∣z2z3∣/∣z1∣|z_2z_3|/|z_1|。因为 z2z3=p2+1z_2z_3=p^2+1 是正实数，这一路线可以更快得到关于 pp 的方程。

答题过程

展开

Using the multiplicative property of the modulus,

∣z2z3z1∣=∣z2z3∣∣z1∣.\left|\frac{z_2z_3}{z_1}\right| =\frac{|z_2z_3|}{|z_1|}.

Now

z2z3= p2+1,∣z1∣= ∣2−i∣=5.\begin{align*} z_2z_3=&\,p^2+1,\\ |z_1|=&\,|2-\mathrm{i}|=\sqrt5. \end{align*}

Since p2+1>0p^2+1>0,

p2+15=25.\frac{p^2+1}{\sqrt5}=2\sqrt5.

Multiplying by 5\sqrt5,

p2+1= 25⋅5= 2(5)= 10.\begin{align*} p^2+1=&\,2\sqrt5\cdot\sqrt5\\ =&\,2(5)\\ =&\,10. \end{align*}

and hence

p=3orp=−3.\boxed{p=3\quad\text{or}\quad p=-3}.