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IAL 2021 June FP1 Q2

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2021 June Paper · Question 2

题目

Problem

2. The complex numbers z1z_1, z2z_2 and z3z_3 are given by

z1=2−i,z2=p−i,z3=p+iz_1 = 2 - i, \quad z_2 = p - i, \quad z_3 = p + i

where pp is a real number.

(a) Find z2z3z1\dfrac{z_2 z_3}{z_1} in the form a+bia + bi where aa and bb are real. Give your answer in its simplest form in terms of pp.

(3)

Given that ∣z2z3z1∣=25\left|\dfrac{z_2 z_3}{z_1}\right| = 2\sqrt{5}

(b) find the possible values of pp.

(4)
题目中文翻译
  1. 复数 z1z_1、z2z_2 和 z3z_3 定义如下：

z1=2−i,z2=p−i,z3=p+iz_1 = 2 - i, \quad z_2 = p - i, \quad z_3 = p + i

其中 pp 是实数。

(a) 将 z2z3z1\dfrac{z_2 z_3}{z_1} 表示为 a+bia + bi 的形式，其中 aa 和 bb 是实数。答案用 pp 表示并化为最简形式。

已知 ∣z2z3z1∣=25\left|\dfrac{z_2 z_3}{z_1}\right| = 2\sqrt{5}

(b) 求 pp 的可能值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先利用 (p−i)(p+i)(p-\mathrm{i})(p+\mathrm{i}) 是共轭复数乘积，把分子化为实数 p2+1p^2+1。再把分子、分母同乘 2+i2+\mathrm{i}，使分母实数化，最后分开实部和虚部。

答题过程

展开 z2z3z1= (p−i)(p+i)2−i= p2+12−i×2+i2+i= (p2+1)(2+i)5= 2(p2+1)5+p2+15i.\begin{align*} \frac{z_2z_3}{z_1} =&\,\frac{(p-\mathrm{i})(p+\mathrm{i})}{2-\mathrm{i}}\\ =&\,\frac{p^2+1}{2-\mathrm{i}} \times\frac{2+\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}\\ =&\,\frac{(p^2+1)(2+\mathrm{i})}{5}\\ =&\,\boxed{ \frac{2(p^2+1)}5 +\frac{p^2+1}{5}\mathrm{i} }. \end{align*}

解法二

思路

展开

设所求复数为 a+bia+b\mathrm{i}，与原式交叉相乘。展开后比较实部、虚部，得到关于 a,ba,b 的联立方程并求解。

答题过程

展开

Let

z2z3z1=a+bi.\frac{z_2z_3}{z_1}=a+b\mathrm{i}.

Since z2z3=p2+1z_2z_3=p^2+1,

p2+1=(a+bi)(2−i).p^2+1=(a+b\mathrm{i})(2-\mathrm{i}).

Expanding the right-hand side gives

(a+bi)(2−i)=(2a+b)+(2b−a)i.(a+b\mathrm{i})(2-\mathrm{i}) =(2a+b)+(2b-a)\mathrm{i}.

Equating real and imaginary parts,

2a+b= p2+1,2b−a= 0.\begin{align*} 2a+b=&\,p^2+1,\\ 2b-a=&\,0. \end{align*}

Thus a=2ba=2b, so

5b=p2+1.5b=p^2+1.

Hence

a= 2(p2+1)5,b= p2+15.\begin{align*} a=&\,\frac{2(p^2+1)}5,\\ b=&\,\frac{p^2+1}{5}. \end{align*}

Therefore,

z2z3z1=2(p2+1)5+p2+15i.\boxed{ \frac{z_2z_3}{z_1} =\frac{2(p^2+1)}5 +\frac{p^2+1}{5}\mathrm{i} }.

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，用复数 a+bia+b\mathrm{i} 的模长公式。由于 p2+1>0p^2+1>0，平方后解出的 p2+1=10p^2+1=10 不会引入符号歧义，最后取平方根得到两个实数解。

答题过程

展开

Using part (a),

∣z2z3z1∣2= (2(p2+1)5)2 +(p2+15)2= (p2+1)25.\begin{align*} \left|\frac{z_2z_3}{z_1}\right|^2 =&\,\bigg(\frac{2(p^2+1)}5\bigg)^2\\ &\,\hspace{2pt}+\bigg(\frac{p^2+1}{5}\bigg)^2\\ =&\,\frac{(p^2+1)^2}{5}. \end{align*}

Given that the modulus is 252\sqrt5,

(p2+1)25= (25)2,(p2+1)2= 100.\begin{align*} \frac{(p^2+1)^2}{5}=&\,(2\sqrt5)^2,\\ (p^2+1)^2=&\,100. \end{align*}

Since p2+1>0p^2+1>0,

p2+1=10.p^2+1=10.

Therefore,

p2=9,p^2=9,

so the possible values are

p=3orp=−3.\boxed{p=3\quad\text{or}\quad p=-3}.

解法二

思路

展开

利用模长的乘除法性质，直接把商的模写成 ∣z2z3∣/∣z1∣|z_2z_3|/|z_1|。因为 z2z3=p2+1z_2z_3=p^2+1 是正实数，这一路线可以更快得到关于 pp 的方程。

答题过程

展开

Using the multiplicative property of the modulus,

∣z2z3z1∣=∣z2z3∣∣z1∣.\left|\frac{z_2z_3}{z_1}\right| =\frac{|z_2z_3|}{|z_1|}.

Now

z2z3= p2+1,∣z1∣= ∣2−i∣=5.\begin{align*} z_2z_3=&\,p^2+1,\\ |z_1|=&\,|2-\mathrm{i}|=\sqrt5. \end{align*}

Since p2+1>0p^2+1>0,

p2+15=25.\frac{p^2+1}{\sqrt5}=2\sqrt5.

Thus

p2+1=10,p^2+1=10,

and hence

p=3orp=−3.\boxed{p=3\quad\text{or}\quad p=-3}.