题目

Problem

3. The triangle $T$ has vertices $A(2, 1)$ , $B(2, 3)$ and $C(0, 1)$ .

The triangle $T'$ is the image of $T$ under the transformation represented by the matrix

P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

(a) Find the coordinates of the vertices of $T'$

(2)

(b) Describe fully the transformation represented by $P$

(2)

The $2 \times 2$ matrix $Q$ represents a reflection in the $x$ -axis and the $2 \times 2$ matrix $R$ represents a rotation through $90^\circ$ anticlockwise about the origin.

(2)

(d) Find the matrix $RQ$

(2)

(e) Give a full geometrical description of the single transformation represented by the answer to part (d).

(2)

题目中文翻译

三角形 $T$ 的顶点为 $A(2, 1)$ 、 $B(2, 3)$ 和 $C(0, 1)$ 。

三角形 $T'$ 是 $T$ 在矩阵 $P$ 表示的变换下的像。

P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

(a) 求 $T'$ 的顶点坐标。

(2)

(b) 完全描述矩阵 $P$ 所表示的变换。

(2)

$2 \times 2$ 矩阵 $Q$ 表示关于 $x$ 轴的反射， $2 \times 2$ 矩阵 $R$ 表示绕原点逆时针旋转 $90^\circ$ 。

(2)

(d) 求矩阵 $RQ$ 。

(2)

(e) 完全描述 (d) 中答案所表示的单个变换。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

把每个顶点的坐标写成列向量，并左乘矩阵 $P$ 。所得三个列向量就是像三角形 $T'$ 的顶点坐标。

答题过程

展开

For $A(2,1)$ ,

\begin{align*} &\,\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}\\ =&\,\begin{pmatrix} 0(2)+1(1)\\ -1(2)+0(1) \end{pmatrix}\\ =&\,\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}. \end{align*}

For $B(2,3)$ ,

\begin{align*} &\,\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}\\ =&\,\begin{pmatrix} 0(2)+1(3)\\ -1(2)+0(3) \end{pmatrix}\\ =&\,\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}. \end{align*}

For $C(0,1)$ ,

\begin{align*} &\,\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\\ =&\,\begin{pmatrix} 0(0)+1(1)\\ -1(0)+0(1) \end{pmatrix}\\ =&\,\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

Thus $B(2,3)\mapsto B'(3,-2)$ and $C(0,1)\mapsto C'(1,0)$ .

Therefore, the vertices of $T'$ are

\begin{align*} &\,\boxed{A'(1,-2)},\\ &\,\boxed{B'(3,-2)},\\ &\,\boxed{C'(1,0)}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

矩阵 $P$ 把 $(1,0)$ 映射为 $(0,-1)$ ，因此表示绕原点顺时针旋转 $90^\circ$ 。

答题过程

展开

The matrix $P$ represents a rotation through $90^\circ$ clockwise about the origin.

(c)

解法一

思路

展开

关于 $x$ 轴反射保持横坐标并把纵坐标变号；逆时针旋转 $90^\circ$ 把 $(x,y)$ 映射为 $(-y,x)$ 。据此直接写出两个标准矩阵。

答题过程

展开

The required matrices are

\boxed{ Q= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} }

and

\boxed{ R= \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} }.

(d)

解法一

思路

展开

按照题目指定的次序计算矩阵乘积 $RQ$ 。矩阵乘法不可交换，因此先写 $R$ ，再写 $Q$ 。

答题过程

展开

Using row-by-column multiplication, the four entries of $RQ$ are

\begin{align*} &\,(RQ)_{11}\\ =&\,0(1)+(-1)(0)=0,\\ &\,(RQ)_{12}\\ =&\,0(0)+(-1)(-1)=1,\\ &\,(RQ)_{21}\\ =&\,1(1)+0(0)=1,\\ &\,(RQ)_{22}\\ =&\,1(0)+0(-1)=0. \end{align*}

Hence

\begin{align*} &\,RQ\\ =&\, \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\\ =&\, \boxed{ \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} }. \end{align*}

(e)

解法一

思路

展开

(d) 的矩阵把 $(x,y)$ 映射为 $(y,x)$ ，也就是交换横、纵坐标。这正是关于直线 $y=x$ 的反射。

答题过程

展开

The matrix

\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}

maps $(x,y)$ to $(y,x)$ . Therefore, it represents a reflection in the line

\boxed{y=x}.

FP1 2021 June Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程