CalcGospel 國際數學圖譜
返回

IAL 2021 June FP1 Q3

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2021 June Paper · Question 3

题目

Problem

3. The triangle TT has vertices A(2,1)A(2, 1), B(2,3)B(2, 3) and C(0,1)C(0, 1).

The triangle T′T' is the image of TT under the transformation represented by the matrix

P=(01−10)P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

(a) Find the coordinates of the vertices of T′T'

(2)

(b) Describe fully the transformation represented by PP

(2)

The 2×22 \times 2 matrix QQ represents a reflection in the xx-axis and the 2×22 \times 2 matrix RR represents a rotation through 90°90° anticlockwise about the origin.

(c) Write down the matrix QQ and the matrix RR

(2)

(d) Find the matrix RQRQ

(2)

(e) Give a full geometrical description of the single transformation represented by the answer to part (d).

(2)
题目中文翻译
  1. 三角形 TT 的顶点为 A(2,1)A(2, 1)、B(2,3)B(2, 3) 和 C(0,1)C(0, 1)。

三角形 T′T' 是 TT 在矩阵 PP 表示的变换下的像。

P=(01−10)P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

(a) 求 T′T' 的顶点坐标。

(b) 完全描述矩阵 PP 所表示的变换。

2×22 \times 2 矩阵 QQ 表示关于 xx 轴的反射，2×22 \times 2 矩阵 RR 表示绕原点逆时针旋转 90°90°。

(c) 写出矩阵 QQ 和矩阵 RR。

(d) 求矩阵 RQRQ。

(e) 完全描述 (d) 中答案所表示的单个变换。

解答

(a)

解法一

思路

展开

把每个顶点的坐标写成列向量，并左乘矩阵 PP。所得三个列向量就是像三角形 T′T' 的顶点坐标。

答题过程

展开

For A(2,1)A(2,1),

(01−10)(21)=(1−2).\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}.

Similarly,

B(2,3)↦B′(3,−2),C(0,1)↦C′(1,0).\begin{align*} B(2,3)&\mapsto B'(3,-2),\\ C(0,1)&\mapsto C'(1,0). \end{align*}

Therefore, the vertices of T′T' are

 A′(1,−2), B′(3,−2), C′(1,0).\begin{aligned} &\,\boxed{A'(1,-2)},\\ &\,\boxed{B'(3,-2)},\\ &\,\boxed{C'(1,0)}. \end{aligned}

(b)

解法一

思路

展开

矩阵 PP 把 (1,0)(1,0) 映射为 (0,−1)(0,-1)，因此表示绕原点顺时针旋转 90∘90^\circ。

答题过程

展开

The matrix PP represents a rotation through 90∘90^\circ clockwise about the origin.

(c)

解法一

思路

展开

关于 xx 轴反射保持横坐标并把纵坐标变号；逆时针旋转 90∘90^\circ 把 (x,y)(x,y) 映射为 (−y,x)(-y,x)。据此直接写出两个标准矩阵。

答题过程

展开

The required matrices are

Q=(100−1)\boxed{ Q= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} }

and

R=(0−110).\boxed{ R= \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} }.

(d)

解法一

思路

展开

按照题目指定的次序计算矩阵乘积 RQRQ。矩阵乘法不可交换，因此先写 RR，再写 QQ。

答题过程

展开 RQ= (0−110)(100−1)= (0110).\begin{align*} RQ =&\, \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\\ =&\, \boxed{ \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} }. \end{align*}

(e)

解法一

思路

展开

(d) 的矩阵把 (x,y)(x,y) 映射为 (y,x)(y,x)，也就是交换横、纵坐标。这正是关于直线 y=xy=x 的反射。

答题过程

展开

The matrix

(0110)\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}

maps (x,y)(x,y) to (y,x)(y,x). Therefore, it represents a reflection in the line

y=x.\boxed{y=x}.