4. 等轴双曲线 $H$ 的方程为 $xy = 25$

点 $P\left(5t, \dfrac{5}{t}\right)$，$t \neq 0$，是 $H$ 上的一般点。

(a) 证明 $H$ 在 $P$ 处的切线方程为 $t^2 y + x = 10t$

点 $Q$ 和 $R$（不同的点）在 $H$ 上。$H$ 在 $Q$ 处的切线和 $H$ 在 $R$ 处的切线相交于点 $(15, -5)$。

(b) 求点 $Q$ 和 $R$ 的坐标。

把双曲线写成 $y=25x^{-1}$ 后求导，并在 $P$ 处代入 $x=5t$ 求切线斜率。再用点斜式写出切线方程，并整理成题目指定的形式。

Since

differentiating with respect to $x$ gives

At $P$, where $x=5t$, the gradient of the tangent is

Hence the tangent at $P(5t,5/t)$ is

Multiplying by $t^2$,

Therefore,

as required.

要证明给定直线是切线，也可以把直线与双曲线联立。若所得交点方程具有一个二重根，就说明直线只在该点与曲线相切；最后核对二重根对应的点正是 $P$。

From the proposed line,

Substituting into $xy=25$ gives

Thus the line meets the hyperbola at the repeated root

The corresponding $x$-coordinate is

Therefore the line has a repeated intersection at $P(5t,5/t)$, so it is the tangent at $P$.

任意参数为 $t$ 的切线都满足 (a) 的方程。由于所求两条切线都经过 $(15,-5)$，把该点代入切线方程，得到关于 $t$ 的二次方程；两个参数根分别对应 $Q$、$R$。

Since the tangent passes through $(15,-5)$, part (a) gives

Therefore,

Hence

Using the general point $(5t,5/t)$, these parameter values give

and

Therefore, $Q$ and $R$ have these coordinates, in either order.

设 $Q,R$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2$。联立两条切线，先求其交点的坐标公式，再与 $(15,-5)$ 比较，得到 $t_1+t_2$ 和 $t_1t_2$。把两个参数视为同一个二次方程的两根，求出参数后回代坐标式。

Let the distinct parameters at $Q$ and $R$ be $t_1$ and $t_2$. Their tangents are

Subtracting the second equation from the first,

Since $t_1\ne t_2$,

Thus $t_1+t_2\ne0$, and

Substituting this into the first tangent equation,

The intersection is $(15,-5)$, so

Also,

Therefore $t_1,t_2$ are the roots of

Hence the parameters are $-3$ and $1$. Using $(5t,5/t)$, when $t=-3$,

When $t=1$,

Thus the coordinates of $Q,R$, in either order, are

and