7. (a) 用数学归纳法证明，对于 $n \in \mathbb{N}$

$\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

(b) 由此证明

$\sum_{r=1}^{n} (r^2+2) = \frac{n}{6}(an^2 + bn + c)$

其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是待求的整数。

(c) 利用 (b) 的答案，求

$\sum_{r=10}^{25} (r^2+2)$

的值。

先验证 $n=1$。再假设公式对 $n=k$ 成立，在前 $k$ 项平方和上加上第 $k+1$ 项的平方；整理并因式分解成把 $n$ 替换为 $k+1$ 后的目标形式，最后写出完整归纳结论。

For $n=1$,

and

Thus the result is true for $n=1$.

Assume that the result is true for $n=k$, where $k\in\mathbb{N}$. Then

For $n=k+1$,

Therefore, if the result is true for $n=k$, it is true for $n=k+1$. Since it is true for $n=1$, the result is true for all $n\in\mathbb{N}$ by mathematical induction.

承接 (a)，把和式拆成平方和与 $n$ 个常数 $2$ 的和。代入 (a) 的公式并提取 $n/6$，再与题目给出的系数形式比较。

Using the result from part (a),

Comparing this with

we obtain

使用 (b) 的结果，把从 $r=10$ 到 $25$ 的和写成前 $25$ 项之和减去前 $9$ 项之和。必须减到 $9$，这样才会保留从 $10$ 开始的所有项。

Let

Using part (b),