题目

Problem

where $a$ is a non-zero constant and $a \neq 3$

(a) Determine $A^{-1}$ giving your answer in terms of $a$ .

(2)

Given that $A + A^{-1} = I$ where $I$ is the $2 \times 2$ identity matrix,

(b) determine the value of $a$ .

(3)

题目中文翻译

其中 $a$ 是非零常数且 $a \neq 3$

(a) 求 $A^{-1}$ ，答案用 $a$ 表示。

已知 $A + A^{-1} = I$ ，其中 $I$ 是 $2 \times 2$ 单位矩阵，

(b) 求 $a$ 的值。

解答

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使用二阶矩阵的逆矩阵公式：交换主对角线元素，改变副对角线元素的符号，再除以行列式。

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The determinant of $A$ is

\det A=3(-2)-a(-2)=2a-6.

Since $a\ne3$ , the determinant is non-zero. Therefore,

\boxed{ A^{-1}=\frac{1}{2a-6} \begin{pmatrix} -2 & -a \\ 2 & 3 \end{pmatrix} }.

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把 (a) 的逆矩阵代入 $A+A^{-1}=I$ 。比较矩阵右上角元素，并利用题设 $a\ne0$ ，即可直接求出 $a$ 。

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Substituting the result from part (a),

\begin{align*} A+A^{-1} =&\, \begin{pmatrix} 3 & a \\ -2 & -2 \end{pmatrix} +&\,\frac{1}{2a-6} \begin{pmatrix} -2 & -a \\ 2 & 3 \end{pmatrix}. \end{align*}

Since $A+A^{-1}=I$ , comparing the top-right elements gives

a-\frac{a}{2a-6}=0.

Since $a\ne0$ ,

1-\frac{1}{2a-6}=0.

Hence

2a-6=1,

\boxed{a=\frac{7}{2}}.