题目

Problem

$A = \begin{pmatrix} 3 & a \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$

where $a$ is a non-zero constant and $a \neq 3$

(a) Determine $A^{-1}$ giving your answer in terms of $a$ .

(2)

Given that $A + A^{-1} = I$ where $I$ is the $2 \times 2$ identity matrix,

(b) determine the value of $a$ .

(3)

题目中文翻译

$A = \begin{pmatrix} 3 & a \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$

其中 $a$ 是非零常数且 $a \neq 3$

(a) 求 $A^{-1}$ ，答案用 $a$ 表示。

(2)

已知 $A + A^{-1} = I$ ，其中 $I$ 是 $2 \times 2$ 单位矩阵，

(b) 求 $a$ 的值。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

使用二阶矩阵的逆矩阵公式：交换主对角线元素，改变副对角线元素的符号，再除以行列式。

答题过程

展开

The determinant of $A$ is

\begin{align*} \det A=&\,3(-2)-a(-2)\\ =&\,-6+2a\\ =&\,2a-6. \end{align*}

Since $a\ne3$ , the determinant is non-zero. Therefore,

\boxed{ \begin{aligned} &\,A^{-1}\\ =&\,\frac{1}{2a-6} \begin{pmatrix} -2 & -a\\ 2 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned} }.

(b)

解法一

思路

展开

把 (a) 的逆矩阵代入 $A+A^{-1}=I$ 。比较矩阵右上角元素，并利用题设 $a\ne0$ ，即可直接求出 $a$ 。

答题过程

展开

Substituting the result from part (a) into $A+A^{-1}=I$ ,

\begin{align*} &\,A+A^{-1}\\ =&\, \begin{pmatrix} 3 & a\\ -2 & -2 \end{pmatrix}\\ +&\,\frac{1}{2a-6} \begin{pmatrix} -2 & -a\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\\ =&\, \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Comparing the top-right elements gives

a-\frac{a}{2a-6}=0.

Since $a\ne0$ , dividing by $a$ gives

\begin{align*} 1-\frac{1}{2a-6}=&\,0,\\ 1=&\,\frac{1}{2a-6}. \end{align*}

Multiplying by $2a-6$ , which is non-zero,

\begin{align*} 2a-6=&\,1,\\ 2a=&\,7,\\ a=&\,\boxed{\frac72}. \end{align*}

This value satisfies $a\ne0$ and $a\ne3$ . With $a=\frac72$ , $\det A=1$ , and the remaining entries of $A+A^{-1}$ are

\begin{align*} (1,1):\quad 3-2=&\,1,\\ (2,1):\quad -2+2=&\,0,\\ (2,2):\quad -2+3=&\,1. \end{align*}

Thus $A+A^{-1}=I$ , as required.

FP1 2021 Oct Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程