(a) 证明方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[2.8, 2.9]$ 内有一个根 $\alpha$。

(b) (i) 求 $f'(x)$。

(ii) 取 $x_0 = 2.8$ 作为 $\alpha$ 的第一个近似值，对 $f(x)$ 应用一次 Newton-Raphson 法，计算 $\alpha$ 的第二个近似值，答案保留 3 位小数。

(c) 在区间 $[2.8, 2.9]$ 上使用一次线性插值，求 $\alpha$ 的另一个近似值。答案保留 3 位小数。

分别计算区间两个端点的函数值。由于函数在 $x>0$ 上连续，而两个函数值异号，所以由介值定理可知区间内存在一个根。

At the endpoints,

and

Since $f$ is continuous for $x>0$ and there is a change of sign, the equation $f(x)=0$ has a root $\alpha$ in the interval $[2.8,2.9]$.

先把根式和分式分别写成 $x^{1/2}$ 与 $x^{-1}$，再逐项求导。

Writing

we obtain

Therefore,

使用 Newton–Raphson 迭代公式

把 $x_0=2.8$ 及相应的函数值代入一次。

Using

with $x_0=2.8$, we have

and

Therefore,

Thus the second approximation is

把端点 $(2.8,f(2.8))$ 与 $(2.9,f(2.9))$ 用直线连接，并按两个端点函数值的绝对值作反向加权平均，即可估计该直线与 $x$ 轴的交点。

Let

By linear interpolation, the estimated root is the weighted mean

Therefore,

把插值直线与 $x$ 轴的交点到左端点 $x=2.8$ 的水平距离记为 $h$。利用相似三角形，水平距离占整个区间的比例，等于左端点函数值到零的距离占两个端点函数值总距离的比例。先求 $h$，再加回 $2.8$。

Let $h$ be the horizontal distance from $x=2.8$ to the $x$-intercept of the straight line through the two endpoints.

The interval width is

Since the endpoint values have opposite signs, similar triangles give

Using

we obtain

Hence

so