2. $f(x) = 7\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{5}{3x} \quad x > 0$

(a) 证明方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[2.8, 2.9]$ 内有一个根 $\alpha$。

(b) (i) 求 $f'(x)$。

(ii) 取 $x_0 = 2.8$ 作为 $\alpha$ 的第一个近似值，对 $f(x)$ 应用一次 Newton-Raphson 法，计算 $\alpha$ 的第二个近似值，答案保留 3 位小数。

(c) 在区间 $[2.8, 2.9]$ 上使用一次线性插值，求 $\alpha$ 的另一个近似值。答案保留 3 位小数。

分别计算区间两个端点的函数值。由于函数在 $x>0$ 上连续，而两个函数值异号，所以由介值定理可知区间内存在一个根。

and

Since $f$ is continuous for $x>0$ and there is a change of sign, the equation $f(x)=0$ has a root $\alpha$ in the interval $[2.8,2.9]$.

先把根式和分式分别写成 $x^{1/2}$ 与 $x^{-1}$，再逐项求导。

Writing

we obtain

使用 Newton–Raphson 迭代公式 $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，把 $x_0=2.8$ 及相应的函数值代入一次。

Using

with $x_0=2.8$, we have

and

Therefore,

把端点 $(2.8,f(2.8))$ 与 $(2.9,f(2.9))$ 用直线连接，并按两个端点函数值的绝对值作反向加权平均，即可估计该直线与 $x$ 轴的交点。

By linear interpolation,

Therefore,