题目

Problem

3. The quadratic equation

$2x^2 - 5x + 7 = 0$

has roots $\alpha$ and $\beta$

Without solving the equation,

(a) write down the value of $(\alpha + \beta)$ and the value of $\alpha\beta$

(1)

(b) determine, giving each answer as a simplified fraction, the value of

(i) $\alpha^2 + \beta^2$

(ii) $\alpha^3 + \beta^3$

(4)

$\dfrac{1}{\alpha + \beta^2} \text{ and } \dfrac{1}{\beta + \alpha^2}$

giving your answer in the form $px^2 + qx + r = 0$ where $p$ , $q$ and $r$ are integers to be determined.

(4)

题目中文翻译

二次方程

$2x^2 - 5x + 7 = 0$

的根为 $\alpha$ 和 $\beta$ 。

不解方程，

(a) 写出 $(\alpha + \beta)$ 和 $\alpha\beta$ 的值。

(b) 求下列各式的值（答案用最简分数表示）：

(i) $\alpha^2 + \beta^2$

(ii) $\alpha^3 + \beta^3$

$\dfrac{1}{\alpha + \beta^2} \text{ 和 } \dfrac{1}{\beta + \alpha^2}$

答案写成 $px^2 + qx + r = 0$ 的形式，其中 $p$ 、 $q$ 和 $r$ 是待定整数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

直接使用二次方程的根与系数关系：两根之和为一次项系数的相反数除以二次项系数，两根之积为常数项除以二次项系数。

答题过程

展开

For the equation $2x^2-5x+7=0$ ,

\boxed{\alpha+\beta=\frac{5}{2}}

and

\boxed{\alpha\beta=\frac{7}{2}}.

(b)(i)

解法一

思路

展开

利用恒等式 $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ ，代入 (a) 的结果。

答题过程

展开

\begin{align*} \alpha^2+\beta^2 =&\,(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\ =&\,\left(\frac{5}{2}\right)^2 -2\left(\frac{7}{2}\right) \\ =&\,\boxed{-\frac{3}{4}}. \end{align*}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

利用立方和恒等式，把 $\alpha^3+\beta^3$ 改写成只含 $\alpha+\beta$ 与 $\alpha\beta$ 的式子。

答题过程

展开

\begin{align*} \alpha^3+\beta^3 =&\,(\alpha+\beta)^3 -3\alpha\beta(\alpha+\beta) \\ =&\,\left(\frac{5}{2}\right)^3 -3\left(\frac{7}{2}\right) \left(\frac{5}{2}\right) \\ =&\,\boxed{-\frac{85}{8}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

把题目给出的两个新根记为 $u$ 、 $v$ 。分别求 $u+v$ 与 $uv$ ，其中分母展开后可用 (a)、(b) 的对称式结果化简；最后使用根为 $u$ 、 $v$ 的二次方程 $x^2-(u+v)x+uv=0$ 。

答题过程

展开

Let

u=\frac{1}{\alpha+\beta^2} \quad\text{and}\quad v=\frac{1}{\beta+\alpha^2}.

The common denominator required for both the sum and the product is

\begin{align*} D =&\,(\alpha+\beta^2)(\beta+\alpha^2) \\ =&\,\alpha\beta+\alpha^3+\beta^3 +\alpha^2\beta^2 \\ =&\,\frac{7}{2}-\frac{85}{8} +\left(\frac{7}{2}\right)^2 \\ =&\,\frac{41}{8}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} u+v =&\,\frac{\alpha^2+\beta^2+\alpha+\beta}{D} \\ =&\,\frac{-\frac{3}{4}+\frac{5}{2}} {\frac{41}{8}} \\ =&\,\frac{14}{41}, \end{align*}

and

uv=\frac{1}{D}=\frac{8}{41}.

Hence the required quadratic equation is

x^2-\frac{14}{41}x+\frac{8}{41}=0.

Multiplying by $41$ gives

\boxed{41x^2-14x+8=0}.

IAL 2021 Oct FP1 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程