4. $f(z) = 2z^3 - z^2 + az + b$

其中 $a$ 和 $b$ 是整数。

复数 $-1 - 3i$ 是方程 $f(z) = 0$ 的一个根。

(a) 写出该方程的另一个复根。

(b) 求 $a$ 和 $b$ 的值。

(c) 在同一幅 Argand 图上画出方程 $f(z) = 0$ 的所有根。

多项式的系数都是实数，因此非实复根成共轭对出现。

Since $f(z)$ has real coefficients and $-1-3\mathrm{i}$ is a root, its complex conjugate is also a root. Therefore, another root is

先由一对共轭复根构造实系数二次因式。再结合原多项式的首项，设剩余的一次因式为 $2z+c$，比较 $z^2$ 的系数求出 $c$，展开后即可读出 $a$ 和 $b$。

The quadratic factor corresponding to the roots $-1\pm3\mathrm{i}$ is

Since the coefficient of $z^3$ in $f(z)$ is $2$, write

The coefficient of $z^2$ is $c+4$. Comparing this with the coefficient $-1$ in $f(z)$ gives

so $c=-5$. Hence

Therefore,

把共轭根 $-1+3\mathrm{i}$ 直接代入 $f(z)=0$，分别比较实部与虚部，得到关于 $a$、$b$ 的两个实方程。

Let $z=-1+3\mathrm{i}$. Then

and

Since $f(z)=0$,

Equating imaginary parts gives

so $a=10$. Equating real parts then gives

Therefore,

由 (b) 的因式分解可得第三个根为 $\frac{5}{2}$。在 Argand 图上分别标出两个共轭复根 $(-1,3)$、$(-1,-3)$，以及实根 $\left(\frac{5}{2},0\right)$。

From part (b),

so the three roots are

These are represented on the Argand diagram by the points