题目

Problem

6. The curve $H$ has equation

$xy = a^2 \quad x > 0$

where $a$ is a positive constant.

The line with equation $y = kx$ , where $k$ is a positive constant, intersects $H$ at the point $P$

(a) Use calculus to determine, in terms of $a$ and $k$ , an equation for the tangent to $H$ at $P$

(4)

The tangent to $H$ at $P$ meets the $x$ -axis at the point $A$ and meets the $y$ -axis at the point $B$

(b) Determine the coordinates of $A$ and the coordinates of $B$ , giving your answers in terms of $a$ and $k$

(2)

题目中文翻译

曲线 $H$ 的方程为

$xy = a^2 \quad x > 0$

其中 $a$ 是正常数。

直线 $y = kx$ （其中 $k$ 是正常数）与 $H$ 相交于点 $P$ 。

(a) 利用微积分，用 $a$ 和 $k$ 表示 $H$ 在 $P$ 处的切线方程。

$H$ 在 $P$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $A$ ，与 $y$ 轴相交于点 $B$ 。

(b) 求 $A$ 和 $B$ 的坐标，答案用 $a$ 和 $k$ 表示。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先联立曲线与直线的方程求出点 $P$ 。再把曲线写成 $y$ 关于 $x$ 的函数并求导，从而得到 $P$ 处的切线斜率，最后使用点斜式写出切线方程。

答题过程

展开

At $P$ , $y=kx$ and $xy=a^2$ . Therefore,

kx^2=a^2.

Since $x>0$ , $a>0$ and $k>0$ ,

x=\frac{a}{\sqrt{k}}

and hence

y=kx=a\sqrt{k}.

Thus

P=\left(\frac{a}{\sqrt{k}},a\sqrt{k}\right).

From $xy=a^2$ ,

y=a^2x^{-1},

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-a^2x^{-2}.

At $P$ , the gradient of the tangent is

-a^2\left(\frac{a}{\sqrt{k}}\right)^{-2}=-k.

Therefore, the tangent at $P$ has equation

y-a\sqrt{k} =-k\left(x-\frac{a}{\sqrt{k}}\right),

which simplifies to

\boxed{y=-kx+2a\sqrt{k}}.

(b)

解法一

思路

展开

分别在切线方程中令 $y=0$ 和 $x=0$ ，求出切线与两坐标轴的交点。

答题过程

展开

At $A$ , $y=0$ . Hence

0=-kx+2a\sqrt{k},

x=\frac{2a}{\sqrt{k}}.

Therefore,

\boxed{A=\left(\frac{2a}{\sqrt{k}},0\right)}.

At $B$ , $x=0$ , so

\boxed{B=(0,2a\sqrt{k})}.

(c)

解法一

思路

展开

承接 (b)，三角形 $AOB$ 是直角三角形，其底和高正好是 $A$ 、 $B$ 的非零坐标。把它们代入面积公式后，含 $k$ 的因子会相消。

答题过程

展开

Using the coordinates found in part (b),

\begin{align*} \text{Area of }\triangle AOB =&\,\frac{1}{2} \left(\frac{2a}{\sqrt{k}}\right) (2a\sqrt{k}) \\ =&\,2a^2. \end{align*}

Since $2a^2$ does not contain $k$ , the area of triangle $AOB$ is independent of $k$ .

IAL 2021 Oct FP1 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程