题目

Problem

7. In part (i), the elements of each matrix should be expressed in exact numerical form.

(i) (a) Write down the $2 \times 2$ matrix that represents a rotation of $210^\circ$ anticlockwise about the origin.

(1)

(b) Write down the $2 \times 2$ matrix that represents a stretch parallel to the $y$ -axis with scale factor $5$

(1)

The transformation $T$ is a rotation of $210^\circ$ anticlockwise about the origin followed by a stretch parallel to the $y$ -axis with scale factor $5$

(2)

(ii) $M = \begin{pmatrix} k & k+3 \\ -5 & 1-k \end{pmatrix}$ where $k$ is a constant

(a) Find $\det M$ , giving your answer in simplest form in terms of $k$ .

(2)

A closed shape $R$ is transformed to a closed shape $R'$ by the transformation represented by the matrix $M$ .

Given that the area of $R$ is $2$ square units and that the area of $R'$ is $16k$ square units,

(b) determine the possible values of $k$ .

(3)

题目中文翻译

在第(i)部分中，每个矩阵的元素应以精确数值形式表示。

(i) (a) 写出表示绕原点逆时针旋转 $210^\circ$ 的 $2 \times 2$ 矩阵。

(1)

(b) 写出表示平行于 $y$ 轴、比例因子为 $5$ 的拉伸的 $2 \times 2$ 矩阵。

(1)

变换 $T$ 是先绕原点逆时针旋转 $210^\circ$ ，再进行平行于 $y$ 轴、比例因子为 $5$ 的拉伸。

(2)

(ii) $M = \begin{pmatrix} k & k+3 \\ -5 & 1-k \end{pmatrix}$ ，其中 $k$ 是常数。

(a) 求 $\det M$ ，答案用 $k$ 表示并化为最简形式。

(2)

封闭图形 $R$ 在矩阵 $M$ 表示的变换下变成封闭图形 $R'$ 。

已知 $R$ 的面积为 $2$ 平方单位， $R'$ 的面积为 $16k$ 平方单位，

(b) 求 $k$ 的可能值。

(3)

解答

(i)(a)

解法一

思路

展开

使用逆时针旋转角为 $\theta$ 时的标准矩阵，并代入 $\theta=210^\circ$ 。

答题过程

展开

The matrix representing an anticlockwise rotation through $210^\circ$ is

\begin{align*} &\,\begin{pmatrix} \cos 210^\circ & -\sin 210^\circ\\ \sin 210^\circ & \cos 210^\circ \end{pmatrix}\\ =&\,\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt3}{2} & \dfrac12\\ -\dfrac12 & -\dfrac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}. \end{align*}

(i)(b)

解法一

思路

展开

平行于 $y$ 轴、比例因子为 $5$ 的拉伸保持 $x$ 坐标不变，并把 $y$ 坐标乘以 $5$ 。

答题过程

展开

The required matrix is

\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 5 \end{pmatrix}.

(i)(c)

解法一

思路

展开

变换按“先旋转、后拉伸”的顺序进行，所以复合矩阵为拉伸矩阵乘以旋转矩阵。

答题过程

展开

Since the rotation is followed by the stretch, the matrix representing $T$ is obtained by multiplying in the order

\begin{align*} &\,T\\ =&\,\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 5 \end{pmatrix}\\ &\,\hspace{2pt}\times \begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt3}{2} & \dfrac12\\ -\dfrac12 & -\dfrac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}. \end{align*}

The four entries are

\begin{align*} T_{11}=&\,1\big(-\tfrac{\sqrt3}{2}\big)+0\big(-\tfrac12\big)\\ =&\,-\frac{\sqrt3}{2},\\ T_{12}=&\,1\big(\tfrac12\big)+0\big(-\tfrac{\sqrt3}{2}\big)\\ =&\,\frac12,\\ T_{21}=&\,0\big(-\tfrac{\sqrt3}{2}\big)+5\big(-\tfrac12\big)\\ =&\,-\frac52,\\ T_{22}=&\,0\big(\tfrac12\big)+5\big(-\tfrac{\sqrt3}{2}\big)\\ =&\,-\frac{5\sqrt3}{2}. \end{align*}

Hence

T= \begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt3}{2} & \dfrac12\\ -\dfrac52 & -\dfrac{5\sqrt3}{2} \end{pmatrix}.

(ii)(a)

解法一

思路

展开

使用二阶矩阵的行列式公式，并把所得多项式化简。

答题过程

展开

\begin{align*} &\,\det M\\ =&\,k(1-k)\\ &\,-(-5)(k+3)\\ =&\,k-k^2+5k+15\\ =&\,-k^2+6k+15. \end{align*}

(ii)(b)

解法一

思路

展开

矩阵变换的面积比例因子是行列式的绝对值。由两个图形的面积建立方程，并分别考虑行列式为正和为负的情况；最后利用面积 $16k$ 为正，排除负值。

答题过程

展开

The area scale factor is $|\det M|$ . Hence

\begin{align*} &\,|-k^2+6k+15|\\ =&\,\frac{16k}{2}\\ =&\,8k. \end{align*}

Since the area of $R'$ is positive, $k>0$ .

If $-k^2+6k+15=8k$ , then

\begin{align*} -k^2+6k+15=&\,8k,\\ -k^2-2k+15=&\,0,\\ k^2+2k-15=&\,0. \end{align*}

Factorising,

\begin{align*} &\,k^2+2k-15\\ =&\,k^2+5k-3k-15\\ =&\,k(k+5)-3(k+5)\\ =&\,(k-3)(k+5). \end{align*}

Thus

(k-3)(k+5)=0,

which gives $k=3$ or $k=-5$ .

If $-k^2+6k+15=-8k$ , then

\begin{align*} -k^2+6k+15=&\,-8k,\\ -k^2+14k+15=&\,0,\\ k^2-14k-15=&\,0. \end{align*}

Factorising,

\begin{align*} &\,k^2-14k-15\\ =&\,k^2-15k+k-15\\ =&\,k(k-15)+(k-15)\\ =&\,(k-15)(k+1). \end{align*}

Thus

(k-15)(k+1)=0,

which gives $k=15$ or $k=-1$ .

Therefore, as $k>0$ , the possible values are

\boxed{k=3\text{ or }k=15}.

FP1 2021 Oct Q7

题目

解答

(i)(a)

解法一

思路

答题过程

(i)(b)

解法一

思路

答题过程

(i)(c)

解法一

思路

答题过程

(ii)(a)

解法一

思路

答题过程

(ii)(b)

解法一

思路

答题过程