8. 抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = 20x$

$C$ 上的点 $P$ 的坐标为 $(5p^2, 10p)$，其中 $p$ 是非零常数。

(a) 利用微积分证明 $C$ 在 $P$ 处的切线方程为

$py - x = 5p^2$

$C$ 在 $P$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $A$。

(b) 写出 $A$ 的坐标。

点 $S$ 是 $C$ 的焦点。

(c) 写出 $S$ 的坐标。

直线 $l_1$ 经过 $A$ 和 $S$。

直线 $l_2$ 经过 $O$ 和 $P$，其中 $O$ 是原点。

已知 $l_1$ 和 $l_2$ 相交于点 $B$，

(d) 证明 $B$ 的坐标满足方程

$2x^2 + y^2 = 10x$

对抛物线方程隐式求导，求出点 $P$ 处的切线斜率，再使用点斜式整理出所需方程。

Differentiating $y^2=20x$ implicitly with respect to $x$ gives

so

At $P(5p^2,10p)$, the gradient of the tangent is

Therefore, the equation of the tangent at $P$ is

Multiplying by $p$ and rearranging gives

点 $A$ 位于 $y$ 轴上，因此在切线方程中令 $x=0$。

At $A$, $x=0$. Substituting this into $py-x=5p^2$ gives

Since $p\ne0$, $y=5p$. Therefore,

把方程与标准形式 $y^2=4ax$ 比较，焦点坐标为 $(a,0)$。

Comparing $y^2=20x$ with $y^2=4ax$ gives

so $a=5$. Hence the focus is

分别求出直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的方程。点 $B$ 同时位于两条直线上，因此利用 $l_2$ 消去参数 $p$，代入 $l_1$ 后即可得到轨迹方程。

The gradient of $l_1$, which passes through $A(0,5p)$ and $S(5,0)$, is

Hence

The gradient of $l_2$, which passes through $O(0,0)$ and $P(5p^2,10p)$, is

Hence

At $B$, both equations hold. Also, $y\ne0$: otherwise $l_2$ would give $x=0$, but $O$ does not lie on $l_1$ since $p\ne0$. Therefore, the equation of $l_2$ gives

Substituting this into the equation of $l_1$ gives

Therefore,

and hence the coordinates of $B$ satisfy

联立两条直线，先把交点 $B$ 的坐标写成参数 $p$ 的表达式，再直接代入目标方程的左边验证。

At $B$, the equations

and

hold simultaneously. Therefore,

Multiplying by $p$ and rearranging gives

Thus

and

It follows that

Therefore, the coordinates of $B$ satisfy