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FP1 2022 Jan Q2

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2022 Jan Paper · Question 2

题目

Problem

The complex numbers z1z_1 and z2z_2 are given by

z1=3+5iz_1=3+5\mathrm{i}

and

z2=−2+6i.z_2=-2+6\mathrm{i}.

(a) Show z1z_1 and z2z_2 on a single Argand diagram.

(2)

(b) Without using your calculator and showing all stages of your working,

(i) determine the value of ∣z1∣|z_1|

(1)

(ii) express z1z2\dfrac{z_1}{z_2} in the form a+bia + b\mathrm{i}, where aa and bb are fully simplified fractions.

(3)

(c) Hence determine the value of arg⁡z1z2\arg\dfrac{z_1}{z_2}

Give your answer in radians to 22 decimal places.

(2)
题目中文翻译

复数 z1z_1 和 z2z_2 定义为

z1=3+5iz_1=3+5\mathrm{i}

和

z2=−2+6i.z_2=-2+6\mathrm{i}.

(a) 在同一 Argand 图上表示 z1z_1 和 z2z_2。

(2)

(b) 不使用计算器，展示所有解题步骤，

(i) 确定 ∣z1∣|z_1| 的值

(1)

(ii) 将 z1z2\dfrac{z_1}{z_2} 表示为 a+bia + b\mathrm{i} 的形式，其中 aa 和 bb 为最简分数。

(3)

(c) 由此确定 arg⁡z1z2\arg\dfrac{z_1}{z_2} 的值，答案以弧度表示，保留 22 位小数。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

在 Argand 图中，横轴表示实部，纵轴表示虚部。因此分别在 (3,5)(3,5) 与 (−2,6)(-2,6) 标出两点，并清楚标记为 z1z_1、z2z_2。

答题过程

展开

z1z_1 is represented by the point (3,5)(3,5) in the first quadrant, and z2z_2 is represented by the point (−2,6)(-2,6) in the second quadrant.

(b)(i)

解法一

思路

展开

复数 a+bia+b\mathrm{i} 的模为 a2+b2\sqrt{a^2+b^2}。代入 z1z_1 的实部和虚部，并保留精确根式。

答题过程

展开 ∣z1∣= 32+52= 9+25= 34.\begin{align*} |z_1| =&\,\sqrt{3^2+5^2}\\ =&\,\sqrt{9+25}\\ =&\,\boxed{\sqrt{34}}. \end{align*}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

分子、分母同乘分母的共轭复数 −2−6i-2-6\mathrm{i}，使分母化为实数；展开时使用 i2=−1\mathrm{i}^2=-1，最后约分。

答题过程

展开  z1z2= 3+5i−2+6i ×−2−6i−2−6i.\begin{align*} &\,\frac{z_1}{z_2}\\ =&\,\frac{3+5\mathrm{i}}{-2+6\mathrm{i}}\\ &\,\hspace{2pt}\times\frac{-2-6\mathrm{i}}{-2-6\mathrm{i}}. \end{align*}

The numerator is

 (3+5i)(−2−6i)= −6−18i−10i −30i2= −6−28i+30= 24−28i.\begin{align*} &\,(3+5\mathrm{i})(-2-6\mathrm{i})\\ =&\,-6-18\mathrm{i}-10\mathrm{i}\\ &\,\hspace{2pt}-30\mathrm{i}^2\\ =&\,-6-28\mathrm{i}+30\\ =&\,24-28\mathrm{i}. \end{align*}

The denominator is

 (−2+6i)(−2−6i)= (−2)2+62= 4+36= 40.\begin{align*} &\,(-2+6\mathrm{i})(-2-6\mathrm{i})\\ =&\,(-2)^2+6^2\\ =&\,4+36\\ =&\,40. \end{align*}

Therefore,

z1z2= 24−28i40= 2440−2840i= 3×85×8−7×410×4i= 35−710i.\begin{align*} \frac{z_1}{z_2} =&\,\frac{24-28\mathrm{i}}{40}\\ =&\,\frac{24}{40}-\frac{28}{40}\mathrm{i}\\ =&\,\frac{3\times8}{5\times8} -\frac{7\times4}{10\times4}\mathrm{i}\\ =&\,\boxed{\frac35-\frac7{10}\mathrm{i}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

承接 (b)(ii)，商的实部为正、虚部为负，所以位于第四象限。用虚部除以实部求正切值，并选择负的主幅角。

答题过程

展开

From part (b)(ii),

z1z2=35−710i.\frac{z_1}{z_2}=\frac35-\frac7{10}\mathrm{i}.

This lies in the fourth quadrant, so its principal argument θ\theta is negative. Thus

tan⁡θ= −7/103/5= −710×53= −76.\begin{align*} \tan\theta =&\,\frac{-7/10}{3/5}\\ =&\,-\frac7{10}\times\frac53\\ =&\,-\frac76. \end{align*}

Hence

θ= arctan⁡(−76)= −0.862170…\begin{align*} \theta =&\,\arctan\big(-\frac76\big)\\ =&\,-0.862170\ldots \end{align*}

Therefore, the argument is −0.86\boxed{-0.86} radians (to 2 d.p.).

解法二

思路

展开

也可以使用商的幅角公式：

 arg⁡(z1z2)= arg⁡z1−arg⁡z2.\begin{align*} &\,\arg\big(\frac{z_1}{z_2}\big)\\ =&\,\arg z_1-\arg z_2. \end{align*}

分别根据两个复数所在象限求幅角，再相减。

答题过程

展开

Since z1z_1 lies in the first quadrant,

arg⁡z1= arctan⁡(53)= 1.030376…\begin{align*} \arg z_1=&\,\arctan\big(\frac53\big)\\ =&\,1.030376\ldots \end{align*}

Since z2z_2 lies in the second quadrant,

arg⁡z2= π−arctan⁡(62)= π−arctan⁡3= 1.892546…\begin{align*} \arg z_2 =&\,\pi-\arctan\big(\frac{6}{2}\big)\\ =&\,\pi-\arctan 3\\ =&\,1.892546\ldots \end{align*}

Hence

 arg⁡(z1z2)= arg⁡z1−arg⁡z2= arctan⁡(53) −(π−arctan⁡3)= −0.862170…\begin{align*} &\,\arg\big(\frac{z_1}{z_2}\big)\\ =&\,\arg z_1-\arg z_2\\ =&\,\arctan\big(\frac53\big)\\ &\,\hspace{2pt}-\big(\pi-\arctan 3\big)\\ =&\,-0.862170\ldots \end{align*}

Therefore, the argument is −0.86\boxed{-0.86} radians (to 2 d.p.).