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IAL 2022 Jan FP1 Q2

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2022 Jan Paper · Question 2

题目

Problem

The complex numbers z1z_1 and z2z_2 are given by

z1=3+5iandz2=−2+6iz_1 = 3 + 5i \quad \text{and} \quad z_2 = -2 + 6i

(a) Show z1z_1 and z2z_2 on a single Argand diagram.

(2)

(b) Without using your calculator and showing all stages of your working,

(i) determine the value of ∣z1∣|z_1|

(1)

(ii) express z1z2\dfrac{z_1}{z_2} in the form a+bia + bi, where aa and bb are fully simplified fractions.

(3)

(c) Hence determine the value of arg⁡z1z2\arg\dfrac{z_1}{z_2}

Give your answer in radians to 22 decimal places.

(2)
题目中文翻译

复数 z1z_1 和 z2z_2 定义为 z1=3+5i和z2=−2+6iz_1 = 3 + 5i \quad \text{和} \quad z_2 = -2 + 6i

(a) 在同一 Argand 图上表示 z1z_1 和 z2z_2。

(b) 不使用计算器，展示所有解题步骤，

(i) 确定 ∣z1∣|z_1| 的值

(ii) 将 z1z2\dfrac{z_1}{z_2} 表示为 a+bia + bi 的形式，其中 aa 和 bb 为最简分数。

(c) 由此确定 arg⁡z1z2\arg\dfrac{z_1}{z_2} 的值，答案以弧度表示，保留 22 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

在 Argand 图中，横轴表示实部，纵轴表示虚部。因此分别在 (3,5)(3,5) 与 (−2,6)(-2,6) 标出两点，并清楚标记为 z1z_1、z2z_2。

答题过程

展开

z1z_1 is represented by the point (3,5)(3,5) in the first quadrant, and z2z_2 is represented by the point (−2,6)(-2,6) in the second quadrant.

(b)(i)

解法一

思路

展开

复数 a+bia+b\mathrm{i} 的模为 a2+b2\sqrt{a^2+b^2}。代入 z1z_1 的实部和虚部，并保留精确根式。

答题过程

展开 ∣z1∣= 32+52= 34.\begin{align*} |z_1| =&\,\sqrt{3^2+5^2}\\ =&\,\boxed{\sqrt{34}}. \end{align*}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

分子、分母同乘分母的共轭复数 −2−6i-2-6\mathrm{i}，使分母化为实数；展开时使用 i2=−1\mathrm{i}^2=-1，最后约分。

答题过程

展开 z1z2= 3+5i−2+6i×−2−6i−2−6i= −6−18i−10i−30i2(−2)2+62= 24−28i40= 35−710i.\begin{align*} \frac{z_1}{z_2} =&\,\frac{3+5\mathrm{i}}{-2+6\mathrm{i}} \times\frac{-2-6\mathrm{i}}{-2-6\mathrm{i}}\\ =&\,\frac{-6-18\mathrm{i}-10\mathrm{i}-30\mathrm{i}^2} {(-2)^2+6^2}\\ =&\,\frac{24-28\mathrm{i}}{40}\\ =&\,\boxed{\frac35-\frac7{10}\mathrm{i}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

承接 (b)(ii)，商的实部为正、虚部为负，所以位于第四象限。用虚部除以实部求正切值，并选择负的主幅角。

答题过程

展开

From part (b)(ii),

z1z2=35−710i.\frac{z_1}{z_2}=\frac35-\frac7{10}\mathrm{i}.

This lies in the fourth quadrant. Therefore,

arg⁡(z1z2)= arctan⁡(−7/103/5)= arctan⁡(−76)= −0.86 radians(to 2 d.p.).\begin{align*} \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) =&\,\arctan\left( \frac{-7/10}{3/5} \right)\\ =&\,\arctan\left(-\frac76\right)\\ =&\,\boxed{-0.86\text{ radians}} \quad\text{(to 2 d.p.).} \end{align*}

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受使用商的幅角公式 arg⁡(z1/z2)=arg⁡z1−arg⁡z2\arg(z_1/z_2)=\arg z_1-\arg z_2。分别根据两个复数所在象限求幅角，再相减。

答题过程

展开

Since z1z_1 lies in the first quadrant,

arg⁡z1=arctan⁡(53).\arg z_1=\arctan\left(\frac53\right).

Since z2z_2 lies in the second quadrant,

arg⁡z2=π−arctan⁡(62)=π−arctan⁡3.\arg z_2 =\pi-\arctan\left(\frac{6}{2}\right) =\pi-\arctan 3.

Hence

arg⁡(z1z2)= arg⁡z1−arg⁡z2= arctan⁡(53)−(π−arctan⁡3)= −0.86 radians(to 2 d.p.).\begin{align*} \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) =&\,\arg z_1-\arg z_2\\ =&\,\arctan\left(\frac53\right) -\left(\pi-\arctan 3\right)\\ =&\,\boxed{-0.86\text{ radians}} \quad\text{(to 2 d.p.).} \end{align*}