题目

Problem

The parabola $C$ has equation $y^2 = 18x$

The point $S$ is the focus of $C$

(a) Write down the coordinates of $S$

(1)

The point $P$ , with $y > 0$ , lies on $C$

The shortest distance from $P$ to the directrix of $C$ is $9$ units.

(b) Determine the exact perimeter of the triangle $OPS$ , where $O$ is the origin.

Give your answer in simplest form.

(4)

题目中文翻译

抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = 18x$ 。

点 $S$ 是 $C$ 的焦点。

(a) 直接写出 $S$ 的坐标。

点 $P$ （其中 $y > 0$ ）在 $C$ 上。

点 $P$ 到 $C$ 的准线的最短距离为 $9$ 个单位。

(b) 确定三角形 $OPS$ 的精确周长，其中 $O$ 为原点。答案以最简形式表示。

解答

(a)

解法一

思路

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把 $y^2=18x$ 与标准形式 $y^2=4ax$ 比较，得到焦距参数 $a$ ，焦点就是 $(a,0)$ 。

答题过程

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Comparing

y^2=18x

with $y^2=4ax$ gives

4a=18, \qquad a=\frac92.

Therefore,

\boxed{S\left(\frac92,0\right)}.

(b)

解法一

思路

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准线为 $x=-9/2$ 。利用 $P$ 到准线的水平距离为 $9$ 求出 $P$ 的横坐标，再由抛物线方程及 $y>0$ 求纵坐标。抛物线定义还给出 $PS=9$ ，最后求 $OP$ 并相加三边。

答题过程

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The directrix of $C$ is

x=-\frac92.

Let $P=(x_P,y_P)$ . Since the distance from $P$ to the directrix is $9$ ,

x_P-\left(-\frac92\right)=9,

x_P=\frac92.

As $P$ lies on $C$ and $y_P>0$ ,

\begin{align*} y_P^2=&\,18\left(\frac92\right)=81,\\ y_P=&\,9. \end{align*}

Thus

P=\left(\frac92,9\right).

By the focus-directrix property of a parabola,

PS=9.

Also,

OS=\frac92

and

\begin{align*} OP =&\,\sqrt{\left(\frac92\right)^2+9^2}\\ =&\,\frac{9\sqrt5}{2}. \end{align*}

Therefore, the perimeter of $\triangle OPS$ is

\begin{align*} OS+PS+OP =&\,\frac92+9+\frac{9\sqrt5}{2}\\ =&\,\boxed{\frac{27+9\sqrt5}{2}}. \end{align*}

IAL 2022 Jan FP1 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程