方程

其中 $A$、$B$、$C$ 为实常数，具有

• 一个复数根 $4 + 3\mathrm{i}$
• 一个重正实根

(a) 直接写出该方程的另一个复数根。

(b) 由此确定

的一个二次因式。

(c) 推导该方程的实根。

(d) 由此确定常数 $A$、$B$、$C$ 的值。

实系数多项式的非实复数根成共轭对出现，因此把 $4+3\mathrm{i}$ 取共轭即可。

Since the polynomial has real coefficients, non-real roots occur in conjugate pairs. Hence the other complex root is

将一对共轭复根分别写成一次因式并相乘。利用平方差可快速消去虚部，得到实系数二次因式。

The quadratic factor formed from the two complex roots is

同样也可先求两根的和与积：

因此，首项系数为 $1$ 的二次因式为

题目只要求一个二次因式，也可使用重正实根。设该根为 $r$，由四个根的乘积求出 $r^2$，利用 $r>0$ 得到 $r$，再写出重根对应的二次因式。

The product of the two complex roots is

Let the repeated positive real root be $r$. Since the product of all four roots is $225$,

As $r>0$, $r=3$. A quadratic factor is therefore

设重正实根为 $r$。四个根的乘积等于常数项 $225$；共轭复根的乘积为 $25$，所以可求得 $r^2$，再利用“正实根”确定符号。

Let the repeated positive real root be $r$. The product of all four roots is $225$, while

Therefore,

Since the repeated real root is positive,

由 (b) 的复根因式及 (c) 的重根因式构造整个四次多项式，展开后逐项比较 $x^3,x^2,x$ 的系数。

The factor corresponding to the repeated root is

Hence

Comparing coefficients with

gives

由 (a)、(c) 已知四个根。首项系数为 $1$ 的四次多项式中，$A$ 是四根和的相反数，$B$ 是所有两根乘积的和，$C$ 是所有三根乘积和的相反数。两个实根虽然同为 $3$，但计算时必须按两个根分别计入。

Write

The four roots are $u$, $v$, $3$ and $3$, with $u+v=8$ and $uv=25$.

Using the sum of the four roots,

Using the sum of all six pairwise products,

Using the sum of all four triple products,

Therefore, $\boxed{C=-222}$.