题目

Problem

The equation

$x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + 225 = 0$

where $A$ , $B$ and $C$ are real constants, has

a complex root $4 + 3i$
a repeated positive real root

(a) Write down the other complex root of this equation.

(1)

(b) Hence determine a quadratic factor of $x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + 225$

(2)

(d) Hence determine the value of each of the constants $A$ , $B$ and $C$

(3)

题目中文翻译

方程 $x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + 225 = 0$

其中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为实常数，具有

一个复数根 $4 + 3i$
一个重正实根

(a) 直接写出该方程的另一个复数根。

(b) 由此确定 $x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + 225$ 的一个二次因式。

(d) 由此确定常数 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

实系数多项式的非实复数根成共轭对出现，因此把 $4+3i$ 取共轭即可。

答题过程

展开

Since the polynomial has real coefficients, non-real roots occur in conjugate pairs. Hence the other complex root is

\boxed{4-3i}.

(b)

解法一

思路

展开

将一对共轭复根分别写成一次因式并相乘。利用平方差可快速消去虚部，得到实系数二次因式。

答题过程

展开

The quadratic factor formed from the two complex roots is

\begin{align*} &\,[x-(4+3i)][x-(4-3i)]\\ =&\,[(x-4)-3i][(x-4)+3i]\\ =&\,(x-4)^2+9\\ =&\,\boxed{x^2-8x+25}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

设重正实根为 $r$ 。四个根的乘积等于常数项 $225$ ；共轭复根的乘积为 $25$ ，所以可求得 $r^2$ ，再利用“正实根”确定符号。

答题过程

展开

Let the repeated positive real root be $r$ . The product of all four roots is $225$ , while

(4+3i)(4-3i)=4^2+3^2=25.

Therefore,

\begin{align*} 25r^2=&\,225,\\ r^2=&\,9. \end{align*}

Since the repeated real root is positive,

\boxed{r=3}.

(d)

解法一

思路

展开

由 (b) 的复根因式及 (c) 的重根因式构造整个四次多项式，展开后逐项比较 $x^3,x^2,x$ 的系数。

答题过程

展开

The factor corresponding to the repeated root is

(x-3)^2=x^2-6x+9.

Hence

\begin{align*} &\,(x^2-8x+25)(x^2-6x+9)\\ =&\,x^4-14x^3+82x^2-222x+225. \end{align*}

Comparing coefficients with

x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+225,

gives

\boxed{A=-14,\qquad B=82,\qquad C=-222}.

IAL 2022 Jan FP1 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程