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IAL 2022 Jan FP1 Q5

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2022 Jan Paper · Question 5

题目

Problem

P=(12−323212)\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

The matrix P\mathbf{P} represents the transformation UU

(a) Give a full description of UU as a single geometrical transformation.

(2)

The transformation VV, represented by the 2×22 \times 2 matrix Q\mathbf{Q}, is a reflection in the line y=−xy = -x

(b) Write down the matrix Q\mathbf{Q}

(1)

The transformation UU followed by the transformation VV is represented by the matrix R\mathbf{R}

(c) Determine the matrix R\mathbf{R}

(2)

The transformation WW is represented by the matrix 3R3\mathbf{R}

The transformation WW maps a triangle TT to a triangle T′T'

The transformation W′W' maps the triangle T′T' back to the original triangle TT

(d) Determine the matrix that represents W′W'

(3)
题目中文翻译

P=(12−323212)\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

矩阵 P\mathbf{P} 表示变换 UU。

(a) 完整描述 UU 为单次几何变换。

变换 VV 由 2×22 \times 2 矩阵 Q\mathbf{Q} 表示，是关于直线 y=−xy = -x 的反射。

(b) 直接写出矩阵 Q\mathbf{Q}。

变换 UU 后接变换 VV 由矩阵 R\mathbf{R} 表示。

(c) 确定矩阵 R\mathbf{R}。

变换 WW 由矩阵 3R3\mathbf{R} 表示。

变换 WW 将三角形 TT 映射到三角形 T′T'。

变换 W′W' 将三角形 T′T' 映射回原三角形 TT。

(d) 确定表示 W′W' 的矩阵。

解答

(a)

解法一

思路

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将矩阵与旋转矩阵的标准形式比较。对角元素给出 cos⁡θ=1/2\cos\theta=1/2，非对角元素给出 sin⁡θ=3/2\sin\theta=\sqrt3/2，因此可同时确定旋转角、方向及旋转中心。

答题过程

展开

The standard matrix for an anticlockwise rotation through θ\theta about the origin is

(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ).\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}.

Comparing this with P\mathbf P gives

cos⁡θ=12,sin⁡θ=32,\cos\theta=\frac12, \qquad \sin\theta=\frac{\sqrt3}{2},

so θ=60∘\theta=60^\circ. Therefore, UU is

a rotation through 60∘ anticlockwise about the origin.\boxed{\text{a rotation through }60^\circ\text{ anticlockwise about the origin}.}

(b)

解法一

思路

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关于 y=−xy=-x 反射时，点 (x,y)(x,y) 变为 (−y,−x)(-y,-x)，由两个新坐标的系数直接写出矩阵。

答题过程

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Reflection in the line y=−xy=-x maps

(x,y)⟼(−y,−x).(x,y)\longmapsto(-y,-x).

Hence

Q=(0−1−10).\boxed{ \mathbf Q= \begin{pmatrix} 0&-1\\ -1&0 \end{pmatrix}}.

(c)

解法一

思路

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先进行 UU、再进行 VV，所以列向量依次左乘 P\mathbf P 和 Q\mathbf Q，复合变换矩阵应为 QP\mathbf Q\mathbf P。

答题过程

展开

Since UU is followed by VV,

R= QP= (0−1−10)(12−323212)= (−32−12−1232).\begin{align*} \mathbf R =&\,\mathbf Q\mathbf P\\ =&\, \begin{pmatrix} 0&-1\\ -1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac12&-\frac{\sqrt3}{2}\\ \frac{\sqrt3}{2}&\frac12 \end{pmatrix}\\ =&\, \boxed{ \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\\ -\frac12&\frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

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W′W' 要撤销 WW，故所求矩阵是 (3R)−1(3\mathbf R)^{-1}。先写出 3R3\mathbf R，再使用二阶矩阵的逆矩阵公式；行列式必须包含整体放大因子 33 的影响。

答题过程

展开

The matrix representing WW is

3R=(−332−32−32332).3\mathbf R= \begin{pmatrix} -\frac{3\sqrt3}{2}&-\frac32\\ -\frac32&\frac{3\sqrt3}{2} \end{pmatrix}.

Its determinant is

(−332)(332)−(−32)2=−9.\left(-\frac{3\sqrt3}{2}\right) \left(\frac{3\sqrt3}{2}\right) -\left(-\frac32\right)^2 =-9.

Therefore,

(3R)−1= 1−9(3323232−332)= (−36−16−1636).\begin{align*} (3\mathbf R)^{-1} =&\,\frac1{-9} \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt3}{2}&\frac32\\ \frac32&-\frac{3\sqrt3}{2} \end{pmatrix}\\ =&\, \boxed{ \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt3}{6}&-\frac16\\ -\frac16&\frac{\sqrt3}{6} \end{pmatrix}}. \end{align*}