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FP1 2022 Jan Q5

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2022 Jan Paper · Question 5

题目

Problem

P=(12−323212)\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt3}{2} \\ \frac{\sqrt3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

The matrix P\mathbf{P} represents the transformation UU

(a) Give a full description of UU as a single geometrical transformation.

(2)

The transformation VV, represented by the 2×22 \times 2 matrix Q\mathbf{Q}, is a reflection in the line y=−xy = -x

(b) Write down the matrix Q\mathbf{Q}

(1)

The transformation UU followed by the transformation VV is represented by the matrix R\mathbf{R}

(c) Determine the matrix R\mathbf{R}

(2)

The transformation WW is represented by the matrix 3R3\mathbf{R}

The transformation WW maps a triangle TT to a triangle T′T'

The transformation W′W' maps the triangle T′T' back to the original triangle TT

(d) Determine the matrix that represents W′W'

(3)
题目中文翻译 P=(12−323212)\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt3}{2} \\ \frac{\sqrt3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

矩阵 P\mathbf{P} 表示变换 UU。

(a) 完整描述 UU 为单次几何变换。

(2)

变换 VV 由 2×22 \times 2 矩阵 Q\mathbf{Q} 表示，是关于直线 y=−xy = -x 的反射。

(b) 直接写出矩阵 Q\mathbf{Q}。

(1)

变换 UU 后接变换 VV 由矩阵 R\mathbf{R} 表示。

(c) 确定矩阵 R\mathbf{R}。

(2)

变换 WW 由矩阵 3R3\mathbf{R} 表示。

变换 WW 将三角形 TT 映射到三角形 T′T'。

变换 W′W' 将三角形 T′T' 映射回原三角形 TT。

(d) 确定表示 W′W' 的矩阵。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

将矩阵与旋转矩阵的标准形式比较。对角元素给出 cos⁡θ=1/2\cos\theta=1/2，非对角元素给出 sin⁡θ=3/2\sin\theta=\sqrt3/2，因此可同时确定旋转角、方向及旋转中心。

答题过程

展开

The standard matrix for an anticlockwise rotation through θ\theta about the origin is

(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ).\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}.

Comparing this with P\mathbf P gives

cos⁡θ= 12,sin⁡θ= 32.\begin{align*} \cos\theta=&\,\frac12,\\ \sin\theta=&\,\frac{\sqrt3}{2}. \end{align*}

so θ=60∘\theta=60^\circ. Therefore, UU is a rotation through 60∘60^\circ anticlockwise about the origin.

(b)

解法一

思路

展开

关于 y=−xy=-x 反射时，点 (x,y)(x,y) 变为 (−y,−x)(-y,-x)，由两个新坐标的系数直接写出矩阵。

答题过程

展开

Reflection in the line y=−xy=-x maps

(x,y)⟼(−y,−x).(x,y)\longmapsto(-y,-x).

Hence

Q=(0−1−10).\boxed{ \mathbf Q= \begin{pmatrix} 0&-1\\ -1&0 \end{pmatrix}}.

(c)

解法一

思路

展开

先进行 UU、再进行 VV，所以列向量依次左乘 P\mathbf P 和 Q\mathbf Q，复合变换矩阵应为 QP\mathbf Q\mathbf P。

答题过程

展开

Since UU is followed by VV, the required product is R=QP\mathbf R=\mathbf Q\mathbf P:

(0−1−10)(12−323212).\begin{pmatrix} 0&-1\\ -1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac12&-\frac{\sqrt3}{2}\\ \frac{\sqrt3}{2}&\frac12 \end{pmatrix}.

Calculating each entry of R=(rij)\mathbf R=(r_{ij}) gives

r11= 0×12 +(−1)×32= −32,r12= 0×(−32) +(−1)×12= −12,r21= (−1)×12 +0×32= −12,r22= (−1)×(−32) +0×12= 32.\begin{align*} r_{11} =&\,0\times\frac12\\ &\,\hspace{2pt}+(-1)\times\frac{\sqrt3}{2}\\ =&\,-\frac{\sqrt3}{2},\\[4mm] r_{12} =&\,0\times\big(-\frac{\sqrt3}{2}\big)\\ &\,\hspace{2pt}+(-1)\times\frac12\\ =&\,-\frac12,\\[4mm] r_{21} =&\,(-1)\times\frac12\\ &\,\hspace{2pt}+0\times\frac{\sqrt3}{2}\\ =&\,-\frac12,\\[4mm] r_{22} =&\,(-1)\times\big(-\frac{\sqrt3}{2}\big)\\ &\,\hspace{2pt}+0\times\frac12\\ =&\,\frac{\sqrt3}{2}. \end{align*}

Therefore,

R=(−32−12−1232).\boxed{ \mathbf R= \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\\ -\frac12&\frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}}.

(d)

解法一

思路

展开

W′W' 要撤销 WW，故所求矩阵是 (3R)−1(3\mathbf R)^{-1}。先写出 3R3\mathbf R，再使用二阶矩阵的逆矩阵公式；行列式必须包含整体放大因子 33 的影响。

答题过程

展开

The matrix representing WW is

3R=(−332−32−32332).3\mathbf R= \begin{pmatrix} -\frac{3\sqrt3}{2}&-\frac32\\ -\frac32&\frac{3\sqrt3}{2} \end{pmatrix}.

Its determinant is

 det⁡(3R)= (−332)(332) −(−32)2= −274−94= −364= −9.\begin{align*} &\,\det(3\mathbf R)\\ =&\,\big(-\frac{3\sqrt3}{2}\big) \big(\frac{3\sqrt3}{2}\big)\\ &\,\hspace{2pt}-\big(-\frac32\big)^2\\ =&\,-\frac{27}{4}-\frac94\\ =&\,-\frac{36}{4}\\ =&\,-9. \end{align*}

Therefore,

 (3R)−1= 1−9(3323232−332)= (−36−16−1636).\begin{align*} &\,(3\mathbf R)^{-1}\\ =&\,\frac1{-9} \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt3}{2}&\frac32\\ \frac32&-\frac{3\sqrt3}{2} \end{pmatrix}\\ =&\, \boxed{ \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt3}{6}&-\frac16\\ -\frac16&\frac{\sqrt3}{6} \end{pmatrix}}. \end{align*}

For example, the entries simplify as

−19×332= −3318= −36,−19×32= −318= −16,−19×(−332)= 36.\begin{align*} -\frac19\times\frac{3\sqrt3}{2} =&\,-\frac{3\sqrt3}{18}\\ =&\,-\frac{\sqrt3}{6},\\[4mm] -\frac19\times\frac32 =&\,-\frac3{18}\\ =&\,-\frac16,\\[4mm] -\frac19\times\big(-\frac{3\sqrt3}{2}\big) =&\,\frac{\sqrt3}{6}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以先求 R−1\mathbf R^{-1}，再使用 (3R)−1=13R−1(3\mathbf R)^{-1}=\frac13\mathbf R^{-1}。注意整体乘以 33 后，逆矩阵整体应乘以 1/31/3，而不是乘以 33。

答题过程

展开

First,

det⁡R= (−32)(32) −(−12)2= −34−14= −1.\begin{align*} \det\mathbf R =&\,\big(-\frac{\sqrt3}{2}\big) \big(\frac{\sqrt3}{2}\big)\\ &\,\hspace{2pt}-\big(-\frac12\big)^2\\ =&\,-\frac34-\frac14\\ =&\,-1. \end{align*}

Thus

 R−1= 1−1(321212−32)= (−32−12−1232).\begin{align*} &\,\mathbf R^{-1}\\ =&\,\frac1{-1} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}{2}&\frac12\\ \frac12&-\frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}\\ =&\, \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\\ -\frac12&\frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}. \end{align*}

Therefore, the matrix representing W′W' is

 (3R)−1= 13R−1= 13(−32−12−1232)= (−36−16−1636).\begin{align*} &\,(3\mathbf R)^{-1}\\ =&\,\frac13\mathbf R^{-1}\\ =&\,\frac13 \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\\ -\frac12&\frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}\\ =&\,\boxed{ \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt3}{6}&-\frac16\\ -\frac16&\frac{\sqrt3}{6} \end{pmatrix}}. \end{align*}