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FP1 2022 Jan Q6

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2022 Jan Paper · Question 6

题目

Problem

The quadratic equation

Ax2+5x−12=0Ax^2 + 5x - 12 = 0

where AA is a constant, has roots α\alpha and β\beta

(a) Write down an expression in terms of AA for

(i) α+β\alpha + \beta

(ii) αβ\alpha\beta

(2)

The equation

4x2−5x+B=04x^2 - 5x + B = 0

where BB is a constant, has roots

α−3β\alpha-\frac3\beta

and

β−3α\beta-\frac3\alpha

(b) Determine the value of AA

(3)

(c) Determine the value of BB

(3)
题目中文翻译

二次方程

Ax2+5x−12=0Ax^2 + 5x - 12 = 0

其中 AA 为常数，两根为 α\alpha 和 β\beta。

(a) 直接写出用含 AA 的式子表示的

(i) α+β\alpha + \beta

(ii) αβ\alpha\beta

(2)

方程

4x2−5x+B=04x^2 - 5x + B = 0

其中 BB 为常数，两根为

α−3β\alpha-\frac3\beta

和

β−3α.\beta-\frac3\alpha.

(b) 确定 AA 的值。

(3)

(c) 确定 BB 的值。

(3)

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

使用二次方程的根与系数关系：根的和等于一次项系数的相反数除以二次项系数。

答题过程

展开

For Ax2+5x−12=0Ax^2+5x-12=0,

α+β=−5A.\boxed{\alpha+\beta=-\frac5A}.

(a)(ii)

解法一

思路

展开

根的积等于常数项除以二次项系数。

答题过程

展开 αβ=−12A.\boxed{\alpha\beta=-\frac{12}{A}}.

(b)

解法一

思路

展开

把第二个方程的两个新根相加，并用 (a) 的 α+β\alpha+\beta 与 αβ\alpha\beta 化简。另一方面，第二个方程本身给出新根之和为 5/45/4；令两者相等即可求出 AA。

答题过程

展开

The sum of the roots of 4x2−5x+B=04x^2-5x+B=0 is

54.\frac54.

Since the first equation is quadratic, A≠0A\ne0. Also, αβ=−12/A≠0\alpha\beta=-12/A\ne0, so neither root is zero. From part (a),

α+βαβ= −5/A−12/A= (−5A)(−A12)= 512.\begin{align*} \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} =&\,\frac{-5/A}{-12/A}\\ =&\,\big(-\frac5A\big)\big(-\frac A{12}\big)\\ =&\,\frac5{12}. \end{align*}

The sum of the two given roots is

 (α−3β)+(β−3α)= (α+β)−3(1α+1β)= (α+β)−3(α+βαβ)= −5A−3(512)= −5A−54.\begin{align*} &\,\big(\alpha-\frac3\beta\big) +\big(\beta-\frac3\alpha\big)\\ =&\,(\alpha+\beta) -3\big(\frac1\alpha+\frac1\beta\big)\\ =&\,(\alpha+\beta) -3\big(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\big)\\ =&\,-\frac5A-3\big(\frac5{12}\big)\\ =&\,-\frac5A-\frac54. \end{align*}

Therefore,

−5A−54= 54,−5A= 54+54,−5A= 52,−10= 5A,A= −2.\begin{align*} -\frac5A-\frac54=&\,\frac54,\\ -\frac5A=&\,\frac54+\frac54,\\ -\frac5A=&\,\frac52,\\ -10=&\,5A,\\ A=&\,-2. \end{align*}

Therefore,

A=−2.\boxed{A=-2}.

(c)

解法一

思路

展开

将第二个方程的两个新根相乘，展开后再次用 αβ\alpha\beta 化简。代入 (b) 的 A=−2A=-2 后得到新根之积，再与第二个方程给出的根积 B/4B/4 比较。

答题过程

展开

Using A=−2A=-2 in part (a),

αβ=−12−2=6.\alpha\beta=-\frac{12}{-2}=6.

The product of the roots of 4x2−5x+B=04x^2-5x+B=0 is B/4B/4. Also,

 (α−3β)(β−3α)= αβ−3αα −3ββ+9αβ= αβ−3−3+9αβ= 6−6+96= 3×33×2= 32.\begin{align*} &\,\big(\alpha-\frac3\beta\big) \big(\beta-\frac3\alpha\big)\\ =&\,\alpha\beta-\frac{3\alpha}{\alpha}\\ &\,\hspace{2pt}-\frac{3\beta}{\beta} +\frac9{\alpha\beta}\\ =&\,\alpha\beta-3-3 +\frac9{\alpha\beta}\\ =&\,6-6+\frac96\\ =&\,\frac{3\times3}{3\times2}\\ =&\,\frac32. \end{align*}

Hence

B4= 32,B= 4×32,B= 6.\begin{align*} \frac B4=&\,\frac32,\\ B=&\,4\times\frac32,\\ B=&\,6. \end{align*}

Therefore,

B=6.\boxed{B=6}.