二次方程 $Ax^2 + 5x - 12 = 0$

其中 $A$ 为常数，两根为 $\alpha$ 和 $\beta$。

(a) 直接写出用含 $A$ 的式子表示的

(i) $\alpha + \beta$

(ii) $\alpha\beta$

方程 $4x^2 - 5x + B = 0$

其中 $B$ 为常数，两根为 $\alpha - \dfrac{3}{\beta}$ 和 $\beta - \dfrac{3}{\alpha}$。

(b) 确定 $A$ 的值。

(c) 确定 $B$ 的值。

使用二次方程的根与系数关系：根的和等于一次项系数的相反数除以二次项系数。

For $Ax^2+5x-12=0$,

根的积等于常数项除以二次项系数。

把第二个方程的两个新根相加，并用 (a) 的 $\alpha+\beta$ 与 $\alpha\beta$ 化简。另一方面，第二个方程本身给出新根之和为 $5/4$；令两者相等即可求出 $A$。

The sum of the roots of $4x^2-5x+B=0$ is

Using part (a), the sum of the two given roots is

Therefore,

Therefore,

将第二个方程的两个新根相乘，展开后再次用 $\alpha\beta$ 化简。代入 (b) 的 $A=-2$ 后得到新根之积，再与第二个方程给出的根积 $B/4$ 比较。

Using $A=-2$ in part (a),

The product of the roots of $4x^2-5x+B=0$ is $B/4$. Also,

Hence

Therefore,