题目
Problem
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
The rectangular hyperbola H has equation xy=36
The point P(4,9) lies on H
(a) Show, using calculus, that the normal to H at P has equation
4x−9y+65=0
(4)
The normal to H at P crosses H again at the point Q
(b) Determine an equation for the tangent to H at Q, giving your answer in the form
y=mx+c where m and c are rational constants.
(5)
题目中文翻译
本题必须展示所有解题步骤。
完全依赖计算器技术的解答不可接受。
等轴双曲线 H 的方程为 xy=36。
点 P(4,9) 在 H 上。
(a) 使用微积分证明：H 在点 P 处的法线方程为
4x−9y+65=0
H 在点 P 处的法线再次与 H 相交于点 Q。
(b) 确定 H 在点 Q 处的切线方程，答案以 y=mx+c 的形式表示，其中 m 和 c 为有理常数。
解答
(a)
解法一
思路
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对 xy=36 隐函数求导，代入 P(4,9) 求切线斜率，再取负倒数得到法线斜率。用点斜式写出法线并逐步整理到题目给定形式。
答题过程
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Differentiating xy=36 implicitly with respect to x gives
xdxdy+y=0,
so
dxdy=−xy.
At P(4,9), the tangent gradient is
mT=−49.
Hence the normal gradient is
mN=−mT1=94.
The normal at P is therefore
y−9=94(x−4).
Multiplying by 9 and rearranging,
9y−81=4x−9y+65=4x−16,0.
Thus the required equation is
4x−9y+65=0.
(b)
解法一
思路
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先由法线方程把 y 表示成 x，代入 xy=36 求两个交点的横坐标；排除已知点 P 后得到 Q。再在 Q 处求切线斜率，并用点斜式写成题目要求的形式。
答题过程
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From the normal equation,
y=94x+65.
At an intersection with H,
x(94x+65)=36.
Thus
4x2+65x−324=(x−4)(4x+81)=0,0.
The root x=4 corresponds to P. Hence at Q,
xQ=−481,
and
yQ=−81/436=−916.
Therefore,
Q(−481,−916).
Since y=36x−1,
dxdy=−36x−2.
The tangent gradient at Q is
m==−(−81/4)236−72964.
Hence the tangent is
y+916=−72964(x+481).
Expanding and simplifying gives
y=−72964x−932.
解法二
思路
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官方评分资料也允许改为消去 x。由法线方程把 x 表示成 y，先求 Q 的纵坐标，再由 xy=36 求横坐标；得到 Q 后的切线步骤相同。
答题过程
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From 4x−9y+65=0,
x=49y−65.
Substituting into xy=36 gives
y(49y−65)=36.
Hence
9y2−65y−144=(y−9)(9y+16)=0,0.
The root y=9 corresponds to P, so
yQ=−916
and
xQ=−16/936=−481.
Thus Q=(−81/4,−16/9). As in Method 1, the tangent gradient at Q is −64/729. Therefore,
y+916=y=−72964(x+481),−72964x−932.
