下表显示了 $f(x)$ 在某些 $x$ 值处的值，$f(x)$ 的值在适当情况下保留 $4$ 位小数。

(a) 完成表格，值保留 $4$ 位小数。

方程 $f(x) = 0$ 恰好有一个正根 $\alpha$。

使用完成表格中的值并解释推理过程，

(b) 确定宽度为 $1$ 且包含 $\alpha$ 的区间。

(c) 由此使用区间二分法两次，获得宽度为 $0.25$ 且包含 $\alpha$ 的区间。

已知方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[-1, -0.5]$ 内有一个负根 $\beta$，

(d) 在此区间上使用一次线性插值法，求 $\beta$ 的近似值。 答案保留 $3$ 位有效数字。

把 $x=2$ 与 $x=4$ 分别代入函数式，并按题意保留四位小数。完整表格也会在后续小题用于比较函数值的正负。

Substituting $x=2$ and $x=4$ gives

and

Hence the completed table is

表中在 $[1,2]$ 和 $[3,4]$ 都出现异号端点，但 $x=5/3$ 是函数在 $[1,2]$ 内的不连续点，因此该处的符号变化不能证明存在零点。函数在 $[3,4]$ 连续，故应选择这一段。

Since

and

$f$ changes sign on $[3,4]$. Also, $f$ is continuous on this interval, so

Although $f(1)$ and $f(2)$ have opposite signs, $f$ is not continuous on $[1,2]$ because $x=5/3$ lies in this interval. Therefore $[1,2]$ cannot be used to locate the root.

从 (b) 的区间 $[3,4]$ 开始连续取两次中点。第一次根据 $f(3.5)$ 的符号保留右半段；第二次根据 $f(3.75)$ 的符号保留左半段。

The midpoint of $[3,4]$ is $3.5$, and

Since $f(4)>0$, the root lies in $[3.5,4]$.

The midpoint of this interval is $3.75$, and

Since $f(3.5)<0$, the required interval is

计算区间两端的函数值，再用连接两端点的直线近似函数图像。按函数值从负值上升到零所占的比例，估计横坐标从 $-1$ 向 $-0.5$ 移动的距离。

At the endpoints,

and

Using linear interpolation,

Therefore, to $3$ significant figures,