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IAL 2022 June FP1 Q1

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2022 June Paper · Question 1

题目

Problem

  1. z1=3+3iz_1 = 3 + 3i, z2=p+qiz_2 = p + qi, p,q∈Rp, q \in \mathbb{R}

Given that ∣z1z2∣=152|z_1 z_2| = 15\sqrt{2}

(a) determine ∣z2∣|z_2|

(2)

Given also that p=−4p = -4

(b) determine the possible values of qq

(2)

(c) Show z1z_1 and the possible positions for z2z_2 on the same Argand diagram.

(2)
题目中文翻译
  1. z1=3+3iz_1 = 3 + 3i，z2=p+qiz_2 = p + qi，p,q∈Rp, q \in \mathbb{R}

已知 ∣z1z2∣=152|z_1 z_2| = 15\sqrt{2}

(a) 求 ∣z2∣|z_2|。

已知 p=−4p = -4

(b) 求 qq 的可能值。

(c) 在同一幅 Argand 图上画出 z1z_1 和 z2z_2 的可能位置。

解答

(a)

解法一

思路

展开

利用复数乘积的模等于各模的乘积。先求 ∣z1∣|z_1|，再由已知的 ∣z1z2∣|z_1z_2| 解出 ∣z2∣|z_2|。

答题过程

展开 ∣z1∣=32+32=32.|z_1|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2.

Since ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1z_2|=|z_1||z_2|,

32 ∣z2∣=152.3\sqrt2\,|z_2|=15\sqrt2.

Therefore,

∣z2∣=5.\boxed{|z_2|=5}.

解法二

思路

展开

官方替代路线直接把 z1z2z_1z_2 展开，再对实部和虚部求模。化简后先得到 p2+q2=25p^2+q^2=25，从而得到 ∣z2∣|z_2|。

答题过程

展开 z1z2= (3+3i)(p+qi)= (3p−3q)+(3p+3q)i.\begin{align*} z_1z_2 =&\,(3+3\mathrm{i})(p+q\mathrm{i})\\ =&\,(3p-3q)+(3p+3q)\mathrm{i}. \end{align*}

Hence

∣z1z2∣2= (3p−3q)2+(3p+3q)2= 18p2+18q2.\begin{align*} |z_1z_2|^2 =&\,(3p-3q)^2+(3p+3q)^2\\ =&\,18p^2+18q^2. \end{align*}

But ∣z1z2∣=152|z_1z_2|=15\sqrt2, so

18p2+18q2= 450,p2+q2= 25.\begin{align*} 18p^2+18q^2=&\,450,\\ p^2+q^2=&\,25. \end{align*}

Therefore,

∣z2∣=p2+q2=5.\boxed{|z_2|=\sqrt{p^2+q^2}=5}.

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，把 ∣z2∣=5|z_2|=5 平方得到 p2+q2=25p^2+q^2=25，再代入题目指定的 p=−4p=-4。平方根有正负两个值，必须全部保留。

答题过程

展开

From part (a),

p2+q2=25.p^2+q^2=25.

Using p=−4p=-4,

(−4)2+q2= 25,q2= 9.\begin{align*} (-4)^2+q^2=&\,25,\\ q^2=&\,9. \end{align*}

Hence

q=3orq=−3.\boxed{q=3\quad\text{or}\quad q=-3}.

(c)

解法一

思路

展开

在 Argand 图中，横轴表示实部、纵轴表示虚部。标出 z1=(3,3)z_1=(3,3)，以及由 (b) 得到的两个可能位置 z2=(−4,3)z_2=(-4,3)、z2=(−4,−3)z_2=(-4,-3)，并清楚标记各点。

答题过程

展开

Plot and label the three points

z1=(3,3),z_1=(3,3), z2=(−4,3)z_2=(-4,3)

and

z2=(−4,−3)z_2=(-4,-3)

on the same Argand diagram.