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IAL 2022 June FP1 Q3

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2022 June Paper · Question 3

题目

Problem

3. M=(kk35)M = \begin{pmatrix} k & k \\ 3 & 5 \end{pmatrix} where kk is a non-zero constant

(a) Determine M−1M^{-1}, giving your answer in simplest form in terms of kk.

(2)

Hence, given that N−1=(kk4−1)N^{-1} = \begin{pmatrix} k & k \\ 4 & -1 \end{pmatrix}

(b) determine (MN)−1(MN)^{-1}, giving your answer in simplest form in terms of kk.

(2)
题目中文翻译
  1. M=(kk35)M = \begin{pmatrix} k & k \\ 3 & 5 \end{pmatrix}，其中 kk 是非零常数

(a) 求 M−1M^{-1}，答案用 kk 表示并化为最简形式。

已知 N−1=(kk4−1)N^{-1} = \begin{pmatrix} k & k \\ 4 & -1 \end{pmatrix}

(b) 求 (MN)−1(MN)^{-1}，答案用 kk 表示并化为最简形式。

解答

(a)

解法一

思路

展开

使用二阶矩阵的逆矩阵公式。先求行列式 5k−3k=2k5k-3k=2k；题设 k≠0k\ne0，因此逆矩阵存在。

答题过程

展开 det⁡M=5k−3k=2k.\det M=5k-3k=2k.

Since k≠0k\ne0, det⁡M≠0\det M\ne0. Therefore,

M−1= 12k(5−k−3k)= (52k−12−32k12).\begin{align*} M^{-1} =&\,\frac1{2k} \begin{pmatrix} 5&-k\\ -3&k \end{pmatrix}\\ =&\,\boxed{ \begin{pmatrix} \frac5{2k}&-\frac12\\ -\frac3{2k}&\frac12 \end{pmatrix}}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，使用乘积逆矩阵公式 (MN)−1=N−1M−1(MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}。注意顺序必须反转，再代入两个已知矩阵并相乘。

答题过程

展开

Using (MN)−1=N−1M−1(MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1},

(MN)−1= N−1M−1= (kk4−1) ×12k(5−k−3k)= 12k(2k023−5k)= (10232k−52).\begin{align*} (MN)^{-1} =&\,N^{-1}M^{-1}\\ =&\, \begin{pmatrix} k&k\\ 4&-1 \end{pmatrix} \\ &\,\hspace{2pt}\times \frac1{2k} \begin{pmatrix} 5&-k\\ -3&k \end{pmatrix}\\ =&\,\frac1{2k} \begin{pmatrix} 2k&0\\ 23&-5k \end{pmatrix}\\ =&\,\boxed{ \begin{pmatrix} 1&0\\ \frac{23}{2k}&-\frac52 \end{pmatrix}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

官方替代路线先由 N−1N^{-1} 求出 NN，然后计算 MNMN，最后再取逆。步骤较长，但可直接验证解法一的乘积逆矩阵公式结果。

答题过程

展开

First,

N= (N−1)−1= 1−5k(−1−k−4k)= 15k(1k4−k).\begin{align*} N =&\,(N^{-1})^{-1}\\ =&\,\frac1{-5k} \begin{pmatrix} -1&-k\\ -4&k \end{pmatrix}\\ =&\,\frac1{5k} \begin{pmatrix} 1&k\\ 4&-k \end{pmatrix}. \end{align*}

Hence

MN= (kk35) ×15k(1k4−k)= 15k(5k023−2k).\begin{align*} MN =&\, \begin{pmatrix} k&k\\ 3&5 \end{pmatrix} \\ &\,\hspace{2pt}\times \frac1{5k} \begin{pmatrix} 1&k\\ 4&-k \end{pmatrix}\\ =&\,\frac1{5k} \begin{pmatrix} 5k&0\\ 23&-2k \end{pmatrix}. \end{align*}

Taking the inverse,

det⁡(MN)= −25,(MN)−1= 1−2/5(−250−235k1)= (10232k−52).\begin{align*} \det(MN) =&\,-\frac25,\\ (MN)^{-1} =&\,\frac1{-2/5} \begin{pmatrix} -\frac25&0\\ -\frac{23}{5k}&1 \end{pmatrix}\\ =&\,\boxed{ \begin{pmatrix} 1&0\\ \frac{23}{2k}&-\frac52 \end{pmatrix}}. \end{align*}