7. $A = \begin{pmatrix} -\dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & -\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}$

(a) 求矩阵 $A^2$。

(b) 完全描述矩阵 $A^2$ 所表示的单个几何变换。

(c) 由此求最小的正整数 $n$，使得 $A^n = I$。

矩阵 $B$ 表示平行于 $x$ 轴、比例因子为 $4$ 的拉伸。

(d) 写出矩阵 $B$。

先进行矩阵 $A$ 表示的变换，再进行矩阵 $B$ 表示的变换，所得复合变换由矩阵 $C$ 表示。

(e) 求矩阵 $C$。

平行四边形 $P$ 在矩阵 $C$ 表示的变换下变成平行四边形 $P'$。

(f) 已知平行四边形 $P'$ 的面积为 $20$ 平方单位，求平行四边形 $P$ 的面积。

将矩阵 $A$ 与自身相乘，并逐项计算四个元素。

把 $A^2$ 与绕原点逆时针旋转 $\theta$ 的标准矩阵比较。由正弦项的符号确定旋转方向和角度。

The standard matrix for an anticlockwise rotation through $\theta$ about the origin is

For $A^2$,

Hence $A^2$ represents

承接 (b)，六次 $A^2$ 会完成整数圈，因此 $A^{12}=I$。再由 $A$ 本身是旋转 $150^\circ$，排除更小的指数，从而证明 $12$ 确实最小。

From part (b), $A^2$ is a rotation through $60^\circ$ clockwise. Six such rotations give a full turn, so

Also, $A$ itself represents a rotation through $150^\circ$ anticlockwise. For $A^n=I$, $150n$ must be a multiple of $360$. Thus

must be an integer. Since $5$ and $12$ are coprime, the smallest positive value is

平行于 $x$ 轴、比例因子为 $4$ 的拉伸把横坐标乘以 $4$，纵坐标保持不变。

先进行 $A$、再进行 $B$，所以列向量依次左乘 $A$ 和 $B$，复合矩阵为 $BA$，次序不能颠倒。

Since the transformation represented by $A$ is followed by that represented by $B$,

矩阵变换的面积比例因子是行列式的绝对值。先求 $|\det C|$，再用变换后面积除以该比例因子，得到原平行四边形面积。

The determinant of $C$ is

Hence the area scale factor is $|\det C|=4$.

Therefore, if the area of $P$ is $S$,

Hence