8. (a) 利用 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r^2$ 和 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r$ 的标准结果证明，对于所有正整数 $n$

$\sum_{r=0}^{n} (r+1)(r+2) = \frac{1}{3}(n+1)(n+2)(n+3)$

(b) 由此求

$10 \times 11 + 11 \times 12 + 12 \times 13 + \ldots + 100 \times 101$

的值。

先展开 $(r+1)(r+2)=r^2+3r+2$，分别套用平方和与等差数列求和公式。注意从 $r=0$ 到 $r=n$ 一共有 $n+1$ 个常数项，最后因式分解至题目指定形式。

Using the standard results,

This proves the required result.

官方第二种路线先换指标：令 $s=r+1$，原和式变为从 $1$ 到 $n+1$ 的 $s(s+1)$ 之和。这样没有额外常数项计数，直接使用上限为 $n+1$ 的两个标准公式。

Let $s=r+1$. As $r$ runs from $0$ to $n$, $s$ runs from $1$ to $n+1$. Therefore,

承接 (a)，目标是 $r(r+1)$ 从 $r=10$ 加到 $100$。用从 $1$ 到 $100$ 的总和减去从 $1$ 到 $9$ 的总和，分别对应 (a) 中的上限 $n=99$ 与 $n=8$。

Using the result from part (a),