题目

Problem

Given that

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

and

$\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & -3 \\ 2k & 2 \end{pmatrix}$

where $k$ is a non-zero constant,

(a) determine the matrix $\mathbf{AB}$

(2)

(b) determine the value of $k$ for which $\det(\mathbf{AB}) = 0$

(3)

题目中文翻译

已知 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

和

$\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & -3 \\ 2k & 2 \end{pmatrix}$

其中 $k$ 为非零常数，

(a) 求矩阵 $\mathbf{AB}$

(b) 求使 $\det(\mathbf{AB}) = 0$ 的 $k$ 值

解答

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矩阵 $\mathbf A$ 为 $2\times3$ ，矩阵 $\mathbf B$ 为 $3\times2$ ，所以 $\mathbf{AB}$ 是 $2\times2$ 矩阵。逐项进行“行乘列”运算并化简。

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\begin{align*} \mathbf{AB} =&\,\begin{pmatrix} 2&-1&3\\ -2&3&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&k\\ 0&-3\\ 2k&2 \end{pmatrix}\\ =&\,\begin{pmatrix} 2+6k&2k+3+6\\ -2&-2k-9 \end{pmatrix}\\ =&\,\boxed{ \begin{pmatrix} 2+6k&2k+9\\ -2&-2k-9 \end{pmatrix}}. \end{align*}

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对 (a) 的 $2\times2$ 矩阵求行列式并令其为零。因式分解后会得到两个候选值，其中 $k=0$ 必须根据题设“ $k$ 非零”排除。

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Using part (a),

\begin{align*} \det(\mathbf{AB}) =&\,(2+6k)(-2k-9)\\ &\,-(-2)(2k+9)\\ =&\,-12k^2-54k\\ =&\,-6k(2k+9). \end{align*}

Therefore,

\det(\mathbf{AB})=0

when

k=0 \quad\text{or}\quad k=-\frac92.

Since $k$ is non-zero, $k=0$ is rejected. Hence

\boxed{k=-\frac92}.