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IAL 2023 Jan FP1 Q3

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2023 Jan Paper · Question 3

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

f(z)=4z3+pz2−24z+108f(z) = 4z^3 + pz^2 - 24z + 108

where pp is a constant.

Given that −3-3 is a root of the equation f(z)=0f(z) = 0

(a) determine the value of pp

(2)

(b) using algebra, solve f(z)=0f(z) = 0 completely, giving the roots in simplest form,

(4)

(c) determine the modulus of the complex roots of f(z)=0f(z) = 0

(2)

(d) show the roots of f(z)=0f(z) = 0 on a single Argand diagram.

(2)
题目中文翻译

本题必须展示所有解题步骤。 完全依赖计算器技术的解答不可接受。

f(z)=4z3+pz2−24z+108f(z) = 4z^3 + pz^2 - 24z + 108

其中 pp 为常数。

已知 −3-3 是方程 f(z)=0f(z) = 0 的一个根，

(a) 确定 pp 的值

(b) 用代数方法完全解方程 f(z)=0f(z) = 0，根以最简形式表示

(c) 确定 f(z)=0f(z) = 0 的复数根的模

(d) 在同一 Argand 图上表示 f(z)=0f(z) = 0 的根

解答

(a)

解法一

思路

展开

由因式定理，−3-3 是根意味着 f(−3)=0f(-3)=0。代入后得到关于 pp 的一次方程。

答题过程

展开

Since −3-3 is a root,

f(−3)=0.f(-3)=0.

Therefore,

4(−3)3+p(−3)2−24(−3)+108= 0,−108+9p+72+108= 0,9p+72= 0.\begin{align*} 4(-3)^3+p(-3)^2-24(-3)+108 =&\,0,\\ -108+9p+72+108 =&\,0,\\ 9p+72=&\,0. \end{align*}

Hence

p=−8.\boxed{p=-8}.

(b)

解法一

思路

展开

代入 p=−8p=-8 后，由已知根提出因式 (z+3)(z+3)，再以比较系数或多项式除法得到二次因式。最后用二次公式求出共轭复根，并列出全部三个根。

答题过程

展开

With p=−8p=-8,

f(z)=4z3−8z2−24z+108.f(z)=4z^3-8z^2-24z+108.

Since z=−3z=-3 is a root, z+3z+3 is a factor. Dividing by z+3z+3 gives

f(z)=(z+3)(4z2−20z+36).f(z)=(z+3)(4z^2-20z+36).

For the quadratic factor,

z= 20±(−20)2−4(4)(36)8= 20±−1768= 20±4i118= 5±i112.\begin{align*} z =&\,\frac{20\pm \sqrt{(-20)^2-4(4)(36)}}{8}\\ =&\,\frac{20\pm\sqrt{-176}}{8}\\ =&\,\frac{20\pm4\mathrm{i}\sqrt{11}}{8}\\ =&\,\frac{5\pm\mathrm{i}\sqrt{11}}{2}. \end{align*}

Thus the roots are

z1= −3,z2= 5+i112,z3= 5−i112.\boxed{ \begin{aligned} z_1=&\,-3,\\ z_2=&\,\frac{5+\mathrm{i}\sqrt{11}}{2},\\ z_3=&\,\frac{5-\mathrm{i}\sqrt{11}}{2} \end{aligned} }.

(c)

解法一

思路

展开

复数的模由实部与虚部的平方和开方得到。两个复根互为共轭，因此模相同，只需计算其中一个。

答题过程

展开

For either complex root,

∣5±i112∣= (52)2+(112)2= 25+114= 3.\begin{align*} \left|\frac{5\pm\mathrm{i}\sqrt{11}}{2}\right| =&\,\sqrt{ \left(\frac52\right)^2 +\left(\frac{\sqrt{11}}2\right)^2 }\\ =&\,\sqrt{\frac{25+11}{4}}\\ =&\,\boxed{3}. \end{align*}

解法二

思路

展开

两个复根是共轭数，其乘积等于模的平方；另一方面，它们的乘积可直接由二次因式的常数项与首项系数得到。

答题过程

展开

The product of the roots of

4z2−20z+36=04z^2-20z+36=0

is

364=9.\frac{36}{4}=9.

Since the roots are a conjugate pair, their product is the square of their common modulus. Hence

∣z∣2=9,|z|^2=9,

so

∣z∣=3.\boxed{|z|=3}.

(d)

解法一

思路

展开

在 Argand 图上，横轴表示实部、纵轴表示虚部。实根位于负实轴；两个共轭根实部均为 5/25/2，虚部分别为 ±11/2\pm\sqrt{11}/2，应关于实轴对称。

答题过程

展开

Plot the three points

(−3,0),(52,112),(52,−112)(-3,0), \qquad \left(\frac52,\frac{\sqrt{11}}2\right), \qquad \left(\frac52,-\frac{\sqrt{11}}2\right)

on a single Argand diagram, with the conjugate pair symmetric about the real axis.