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IAL 2023 Jan FP1 Q5

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2023 Jan Paper · Question 5

题目

Problem

The quadratic equation

4x2+3x+k=04x^2 + 3x + k = 0

where kk is an integer, has roots α\alpha and β\beta

(a) Write down, in terms of kk where appropriate, the value of α+β\alpha + \beta and the value of αβ\alpha\beta

(2)

(b) Determine, in simplest form in terms of kk, the value of αβ2+βα2\dfrac{\alpha}{\beta^2} + \dfrac{\beta}{\alpha^2}

(4)

(c) Determine a quadratic equation which has roots

αβ2andβα2\frac{\alpha}{\beta^2} \quad \text{and} \quad \frac{\beta}{\alpha^2}

giving your answer in the form px2+qx+r=0px^2 + qx + r = 0 where pp, qq and rr are integer values in terms of kk

(3)
题目中文翻译

二次方程 4x2+3x+k=04x^2 + 3x + k = 0

其中 kk 为整数，两根为 α\alpha 和 β\beta。

(a) 直接写出（用含 kk 的式子表示，若适用）α+β\alpha + \beta 和 αβ\alpha\beta 的值。

(b) 用含 kk 的最简形式确定 αβ2+βα2\dfrac{\alpha}{\beta^2} + \dfrac{\beta}{\alpha^2} 的值。

(c) 求一个二次方程，使其两根为 αβ2和βα2\frac{\alpha}{\beta^2} \quad \text{和} \quad \frac{\beta}{\alpha^2}

答案以 px2+qx+r=0px^2 + qx + r = 0 的形式表示，其中 pp、qq、rr 为用含 kk 的式子表示的整数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

直接使用二次方程的根与系数关系，分别写出两根之和与两根之积。

答题过程

展开

By the sum and product of roots,

α+β=−34,αβ=k4.\boxed{\alpha+\beta=-\frac34, \qquad \alpha\beta=\frac{k}{4}}.

(b)

解法一

思路

展开

先通分，把分子化为 α3+β3\alpha^3+\beta^3，分母化为 (αβ)2(\alpha\beta)^2。再用立方和恒等式把分子改写成只含 α+β\alpha+\beta 与 αβ\alpha\beta 的形式，并代入 (a)。

答题过程

展开

Since the given expressions are defined, αβ≠0\alpha\beta\ne0, so k≠0k\ne0. Now

αβ2+βα2= α3+β3α2β2= (α+β)3−3αβ(α+β)(αβ)2.\begin{align*} \frac{\alpha}{\beta^2} +\frac{\beta}{\alpha^2} =&\,\frac{\alpha^3+\beta^3} {\alpha^2\beta^2}\\ =&\,\frac{(\alpha+\beta)^3 -3\alpha\beta(\alpha+\beta)} {(\alpha\beta)^2}. \end{align*}

Using part (a),

α3+β3= (−34)3−3(k4)(−34)= −2764+9k16= 36k−2764.\begin{align*} \alpha^3+\beta^3 =&\,\left(-\frac34\right)^3 -3\left(\frac{k}{4}\right) \left(-\frac34\right)\\ =&\,-\frac{27}{64}+\frac{9k}{16}\\ =&\,\frac{36k-27}{64}. \end{align*}

Therefore,

αβ2+βα2= (36k−27)/64(k/4)2= 36k−274k2.\begin{align*} \frac{\alpha}{\beta^2} +\frac{\beta}{\alpha^2} =&\,\frac{(36k-27)/64}{(k/4)^2}\\ =&\,\boxed{\frac{36k-27}{4k^2}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

新方程的根和就是 (b) 的结果。另求两个新根的乘积，再代入“x2−x^2- 根和 ×x+\times x+ 根积 =0=0”，最后整体乘以 4k24k^2 得到整数形式的系数。

答题过程

展开

The product of the new roots is

(αβ2)(βα2)= 1αβ= 4k.\begin{align*} \left(\frac{\alpha}{\beta^2}\right) \left(\frac{\beta}{\alpha^2}\right) =&\,\frac1{\alpha\beta}\\ =&\,\frac4k. \end{align*}

Hence the required equation is

x2−36k−274k2x+4k=0.x^2-\frac{36k-27}{4k^2}x+\frac4k=0.

Multiplying by 4k24k^2 gives

4k2x2−(36k−27)x+16k=0.\boxed{4k^2x^2-(36k-27)x+16k=0}.