本题必须展示所有解题步骤。 完全依赖计算器技术的解答不可接受。

等轴双曲线 $H$ 的方程为 $xy = 20$。

点 $P\Big(2t\sqrt{a}, \dfrac{2\sqrt{a}}{t}\Big)$（$t \neq 0$），其中 $a$ 为常数，是 $H$ 上的一般点。

(a) 写出 $a$ 的值。

(b) 证明：$H$ 在点 $P$ 处的法线方程为

点 $A$ 和 $B$ 在 $H$ 上。

点 $A$ 的参数为 $t = c$，点 $B$ 的参数为 $t = -\dfrac{1}{2c}$，其中 $c$ 为常数。

$H$ 在点 $A$ 处的法线再次与 $H$ 相交于点 $B$。

(c) 确定 $c$ 的可能值。

把参数点的两个坐标相乘，并利用它在双曲线 $xy=20$ 上，即可直接确定 $a$。

Since $P$ lies on $H$,

As $t\ne0$,

so

先由 $y=20/x$ 求导，并在 $P$ 处求出切线斜率；法线斜率是其负倒数。将 $a=5$ 后的点 $P$ 代入点斜式，再整理成题目要求的形式。

From

At

the gradient of the tangent is

Hence the gradient of the normal is $t^2$. Its equation is therefore

Multiplying by $t$ and rearranging,

Thus the normal has equation

也可以直接对 $xy=20$ 隐函数求导。由 $x\,\mathrm{d}y/\mathrm{d}x+y=0$ 得到切线斜率，再取负倒数求法线斜率，最后代入点斜式。

Differentiating $xy=20$ implicitly gives

so

At $P$,

Hence the normal gradient is $t^2$, and the normal is

Multiplying by $t$,

Rearranging gives the required equation:

先写出 $A$ 处的法线，再由点 $B$ 的参数求其坐标并直接代入。所得方程是关于 $c^2$ 的二次方程，最后只保留能给出实数 $c$ 的解。

At $A$, $t=c$, so the normal is

Since the parameter of $B$ is $-1/(2c)$,

Substituting the coordinates of $B$ into the normal gives

Dividing by $\sqrt5$ and collecting terms,

Factorising the quadratic in $c^2$,

Thus

For real $c$, $2c^2+1\ne0$. Hence

so the possible values are

把双曲线方程 $y=20/x$ 代入 $A$ 处的法线，得到法线与双曲线交点的二次方程。因式分解后，一个根对应已知点 $A$，另一个根对应 $B$；将第二个横坐标与 $B$ 的参数坐标比较。

Substituting $y=20/x$ into the normal at $A$ gives

Since $c\ne0$ and neither point on $H$ has $x=0$, this is equivalent to

To factorise, note that

Therefore,

The root $x=2c\sqrt5$ corresponds to $A$. Therefore the second intersection has

But the parameter of $B$ is $-1/(2c)$, so

Equating these expressions,

Multiplying by the non-zero quantity $-c^3/\sqrt5$ gives

and hence

由于直线 $AB$ 就是 $A$ 处的法线，可先用两点坐标求 $AB$ 的斜率，再与 (b) 中法线斜率 $c^2$ 比较。这条路线运算最短。

The coordinates are

and

Therefore,

From part (b), the gradient of the normal at $A$ is $c^2$. Since $AB$ is this normal,

Thus