抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = 4ax$，其中 $a$ 为正常数。

点 $S$ 是 $C$ 的焦点。

直线 $l_1$ 的方程为 $y = k$，其中 $k$ 为正常数，与 $C$ 相交于点 $P$。

(a) 证明

直线 $l_2$ 过点 $P$，与 $C$ 的准线在 $x$ 轴上相交。

直线 $l_2$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$。

(b) 证明点 $A$ 的 $y$ 坐标为

直线 $l_1$ 与 $C$ 的准线相交于点 $B$。

已知三角形 $BPA$ 和 $OSP$ 的面积满足比例

其中 $O$ 为原点，

(c) 确定 $a$ 的精确值。

先由 $y=k$ 求出点 $P$。抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，而准线是 $x=-a$；因此 $PS$ 就是 $P$ 到准线的水平距离。

Since $P$ lies on $C$ and $y=k$,

so

The directrix of $C$ is $x=-a$. By the focus-directrix property of a parabola,

使用焦点 $S=(a,0)$ 与点 $P$ 的坐标，通过距离公式直接计算 $PS$。展开平方和后，分子恰好成为完全平方。

The focus is $S(a,0)$ and

Therefore,

Since $a>0$ and $PS>0$,

设 $l_2$ 与准线及 $x$ 轴的交点为 $D=(-a,0)$。利用 $D$、$P$ 两点求直线斜率，再写出过 $D$ 的直线方程；令 $x=0$ 即得到 $A$ 的纵坐标。

Let $D$ be the point where $l_2$ meets the directrix on the $x$-axis. Then

Using $P\big(k^2/(4a),k\big)$, the gradient of $l_2$ is

Hence the equation of $l_2$ is

At $A$, $x=0$, so

也可用直线 $DPA$ 上形成的相似直角三角形。纵向变化量与横向变化量成固定比例，把 $DA$ 与 $DP$ 对应即可直接求截距。

Let $A=(0,h)$ and $D=(-a,0)$. Since $D$, $A$ and $P$ are collinear,

Therefore,

分别以水平或竖直线段作底计算两个三角形面积。对 $BPA$ 而言，底边 $BP$ 的长度正是 (a) 的 $PS$，高为 $k-y_A$；代入 (a)、(b) 后大量因式约去，再使用给定面积比求 $a$。

The coordinates of the relevant points are

and

Thus

Also,

and, using part (b),

where the numerator is

Thus the height of triangle $BPA$ is

Therefore,

Here $k^2+4a^2>0$, so the common factor can be cancelled.

Using the given ratio,

Substituting the two areas gives

Since $a>0$ and $k>0$, the left-hand side simplifies as follows:

Therefore,

Since $k>0$,

Since $a>0$,