题目

Problem

A parabola $C$ has equation $y^2 = 4ax$ where $a$ is a positive constant.

The point $S$ is the focus of $C$

The line $l_1$ with equation $y = k$ where $k$ is a positive constant, intersects $C$ at the point $P$

(a) Show that

$PS = \frac{k^2 + 4a^2}{4a}$

(3)

The line $l_2$ passes through $P$ and intersects the directrix of $C$ on the $x$ -axis.

The line $l_2$ intersects the $y$ -axis at the point $A$

(b) Show that the $y$ coordinate of $A$ is

$\frac{4a^2k}{k^2 + 4a^2}$

(3)

The line $l_1$ intersects the directrix of $C$ at the point $B$

Given that the areas of triangles $BPA$ and $OSP$ , where $O$ is the origin, satisfy the ratio

$\text{area } BPA : \text{area } OSP = 4k^2 : 1$

(5)

题目中文翻译

抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = 4ax$ ，其中 $a$ 为正常数。

点 $S$ 是 $C$ 的焦点。

直线 $l_1$ 的方程为 $y = k$ ，其中 $k$ 为正常数，与 $C$ 相交于点 $P$ 。

(a) 证明 $PS = \frac{k^2 + 4a^2}{4a}$

直线 $l_2$ 过点 $P$ ，与 $C$ 的准线在 $x$ 轴上相交。

直线 $l_2$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ 。

(b) 证明点 $A$ 的 $y$ 坐标为 $\frac{4a^2k}{k^2 + 4a^2}$

直线 $l_1$ 与 $C$ 的准线相交于点 $B$ 。

已知三角形 $BPA$ 和 $OSP$ 的面积满足比例 $\text{area } BPA : \text{area } OSP = 4k^2 : 1$ 其中 $O$ 为原点，

IAL 2023 Jan FP1 Q8