3. 等轴双曲线 $H$ 的直角坐标方程为 $xy=9$。

点 $P\Big(3t,\dfrac3t\Big)$（其中 $t\neq0$）在 $H$ 上。

(a) 使用微积分求双曲线 $H$ 在点 $P$ 处的法线方程。

答案写成 $ty-t^3x=f(t)$ 的形式。

已知 $t=2$。

(b) 求法线再次与 $H$ 相交之点的坐标，答案写成最简形式。

对 $xy=9$ 隐函数求导，在 $P$ 处得到切线斜率，再取负倒数得到法线斜率。最后用点斜式写法线，并整理为题目指定形式。

Differentiating $xy=9$ implicitly with respect to $x$,

so

At $P\left(3t,3/t\right)$, the tangent gradient is

Hence the normal gradient is $m_N=t^2$. Its equation is

Multiplying by the non-zero parameter $t$ gives

Rearranging,

so $f(t)=3-3t^4$.

也可以先把双曲线写成显函数 $y=9x^{-1}$，直接对幂函数求导。代入 $x=3t$ 后，后续法线步骤相同。

Writing $y=9x^{-1}$ and differentiating,

At $x=3t$,

so $m_N=t^2$. Therefore,

Hence

也可把点的表示视为双曲线的参数方程，分别对参数求导，再用参数导数的比求切线斜率。

Using

we have

Thus

The normal gradient is therefore $t^2$, so

Hence

把 $t=2$ 代入 (a) 的法线方程，再用法线表示 $y$ 并代入 $xy=9$。所得二次方程的一个根对应已知点 $P$，另一个根就是再次相交点的横坐标。

When $t=2$, the normal is

so

Substituting into $xy=9$,

Hence

The root $x=6$ corresponds to $P=(6,3/2)$. At the other intersection,

Using $xy=9$,

Therefore the normal meets $H$ again at

也可以改为消去 $x$。由法线方程把 $x$ 表示成 $y$，代入 $xy=9$ 后直接求纵坐标，再排除已知点 $P$。

From

we obtain

Substituting into $xy=9$ gives

Therefore,

The root $y=3/2$ corresponds to $P$. At the other intersection, $y=-24$, and hence

Therefore the required point is