题目

Problem

4. (i) $A = \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ -3 & k \end{pmatrix}$ where $k$ is a constant

The transformation represented by $A$ transforms triangle $T$ to triangle $T'$

The area of triangle $T'$ is three times the area of triangle $T$

Determine the possible values of $k$

(4)

(ii) $B = \begin{pmatrix} a & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ and $BC = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ where $a$ is a constant

Determine, in terms of $a$ , the matrix $C$

(4)

题目中文翻译

(i) $A = \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ -3 & k \end{pmatrix}$ ，其中 $k$ 是常数

矩阵 $A$ 表示的变换将三角形 $T$ 变成三角形 $T'$ 。

三角形 $T'$ 的面积是三角形 $T$ 面积的三倍。

求 $k$ 的可能值。

(ii) $B = \begin{pmatrix} a & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ ， $BC = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ ，其中 $a$ 是常数。

用 $a$ 表示矩阵 $C$ 。

解答

(i)

解法一

思路

展开

二维线性变换把面积放大为原来的 $|\det A|$ 倍。题目只给面积倍数，没有限定是否发生翻转，因此行列式可为 $3$ 或 $-3$ ，两种情况都要保留。

答题过程

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The area scale factor is $|\det A|$ . Now

\begin{align*} \det A =&\,(-3)k-8(-3)\\ =&\,24-3k. \end{align*}

Since the area of $T'$ is three times the area of $T$ ,

|24-3k|=3.

Thus $24-3k=3$ or $24-3k=-3$ , giving

\boxed{k=7\text{ or }k=9}.

(ii)

解法一

思路

展开

由 $BC$ 已知，在等式左侧乘 $B^{-1}$ ，得到 $C=B^{-1}(BC)$ 。先求二阶矩阵的逆矩阵，再按正确次序与右侧的 $2\times3$ 矩阵相乘。

答题过程

展开

\det B=3a-(-4)(2)=3a+8,

B^{-1} =\frac1{3a+8} \begin{pmatrix} 3&4\\ -2&a \end{pmatrix}.

Therefore,

\begin{align*} C =&\,B^{-1}(BC)\\ =&\,\frac1{3a+8} \begin{pmatrix} 3&4\\ -2&a \end{pmatrix} \\ &\,\hspace{2pt}\times \begin{pmatrix} 2&5&1\\ 1&4&2 \end{pmatrix}\\ =&\,\boxed{ \frac1{3a+8} \begin{pmatrix} 10&31&11\\ a-4&4a-10&2a-2 \end{pmatrix} }. \end{align*}

解法二

思路

展开

官方评分资料也允许直接设出 $C$ 的六个元素。矩阵乘法后，每一列各产生两个一次方程；逐列消元即可求出对应的两个元素，不必显式写出 $B^{-1}$ 。

答题过程

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Let

C=\begin{pmatrix}p&q&r\\s&t&u\end{pmatrix}.

Matrix multiplication gives

\begin{align*} ap-4s=&\,2, & 2p+3s=&\,1,\\ aq-4t=&\,5, & 2q+3t=&\,4,\\ ar-4u=&\,1, & 2r+3u=&\,2. \end{align*}

Multiplying each first equation by $3$ and each second equation by $4$ , then adding, gives

\begin{align*} (3a+8)p=&\,10,\\ (3a+8)q=&\,31,\\ (3a+8)r=&\,11. \end{align*}

Hence

\begin{align*} p=&\,\frac{10}{3a+8},\\ q=&\,\frac{31}{3a+8},\\ r=&\,\frac{11}{3a+8}. \end{align*}

Substitution into the second equation of each pair gives

\begin{align*} s=&\,\frac{a-4}{3a+8},\\ t=&\,\frac{4a-10}{3a+8},\\ u=&\,\frac{2a-2}{3a+8}. \end{align*}

Therefore,

\boxed{ C=\frac1{3a+8} \begin{pmatrix} 10&31&11\\ a-4&4a-10&2a-2 \end{pmatrix} }.

IAL 2023 May FP1 Q4

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

(ii)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程