题目

Problem

5. $f(x) = x^2 - 6x + 3$

The equation $f(x) = 0$ has roots $\alpha$ and $\beta$

Without solving the equation,

(a) determine the value of

$(\alpha^2 + 1)(\beta^2 + 1)$

(4)

(b) find a quadratic equation which has roots

$\dfrac{\alpha}{\alpha^2 + 1} \text{ and } \dfrac{\beta}{\beta^2 + 1}$

giving your answer in the form $px^2 + qx + r = 0$ where $p$ , $q$ and $r$ are integers to be determined.

(6)

题目中文翻译

$f(x) = x^2 - 6x + 3$

方程 $f(x) = 0$ 的根为 $\alpha$ 和 $\beta$ 。

不解方程，

(a) 求 $(\alpha^2 + 1)(\beta^2 + 1)$ 的值。

(b) 求一个二次方程，使其根为

$\dfrac{\alpha}{\alpha^2 + 1} \text{ 和 } \dfrac{\beta}{\beta^2 + 1}$

答案写成 $px^2 + qx + r = 0$ 的形式，其中 $p$ 、 $q$ 和 $r$ 是待定整数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先用根与系数关系得到 $\alpha+\beta$ 和 $\alpha\beta$ 。展开目标式后，把 $\alpha^2+\beta^2$ 改写成 $(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ ，即可完全用根的和与积计算。

答题过程

展开

By the sum and product of roots,

\alpha+\beta=6, \qquad \alpha\beta=3.

Therefore,

\begin{align*} (\alpha^2+1)(\beta^2+1) =&\,\alpha^2\beta^2 +\alpha^2+\beta^2+1\\ =&\,(\alpha\beta)^2 +(\alpha+\beta)^2\\ &\,-2\alpha\beta+1\\ =&\,3^2+6^2-2(3)+1\\ =&\,\boxed{40}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

设新根为 $u,v$ ，分别求它们的和与积。(a) 的结果正好是共同分母；分子则用 $\alpha+\beta$ 与 $\alpha\beta$ 化简。最后使用“ $x^2-$ 根的和 $\,x+$ 根的积 $=0$ ”构造方程，并化为整数系数。

答题过程

展开

Let

u=\frac{\alpha}{\alpha^2+1}, \qquad v=\frac{\beta}{\beta^2+1}.

Using part (a),

\begin{align*} u+v =&\,\frac{ \alpha(\beta^2+1)+ \beta(\alpha^2+1)} {(\alpha^2+1)(\beta^2+1)}\\ =&\,\frac{ \alpha\beta(\alpha+\beta) +(\alpha+\beta)}{40}\\ =&\,\frac{3(6)+6}{40}\\ =&\,\frac35. \end{align*}

Also,

\begin{align*} uv =&\,\frac{\alpha\beta} {(\alpha^2+1)(\beta^2+1)}\\ =&\,\frac3{40}. \end{align*}

Hence a quadratic equation with roots $u$ and $v$ is

x^2-\frac35x+\frac3{40}=0.

Multiplying by $40$ gives

\boxed{40x^2-24x+3=0}.

IAL 2023 May FP1 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程