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FP1 2023 May Q6

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2023 May Paper · Question 6

题目

Problem

6. In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

z1=3+2iz_1=3+2\mathrm{i} z2=2+3iz_2=2+3\mathrm{i} z3=a+biz_3=a+b\mathrm{i}

a,b∈Ra,b\in\mathbb R

(a) Determine the exact value of ∣z1+z2∣|z_1 + z_2|

(2)

Given that w=z2z3z1w = \dfrac{z_2 z_3}{z_1}

(b) determine ww in terms of aa and bb, giving your answer in the form x+iyx + \mathrm{i}y, where x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}

(4)

Given also that w=413+5813iw = \dfrac{4}{13} + \dfrac{58}{13}\mathrm{i}

(c) determine the value of aa and the value of bb

(2)

(d) determine arg⁡w\arg w, giving your answer in radians to 4 significant figures.

(2)
题目中文翻译
  1. 在本题中必须展示所有解题步骤。完全依赖计算器技术的解答不可接受。
z1=3+2iz_1=3+2\mathrm{i} z2=2+3iz_2=2+3\mathrm{i} z3=a+biz_3=a+b\mathrm{i}

a,b∈Ra,b\in\mathbb R

(a) 求 ∣z1+z2∣|z_1 + z_2| 的精确值。

(2)

已知 w=z2z3z1w = \dfrac{z_2 z_3}{z_1}

(b) 用 aa 和 bb 表示 ww，答案写成 x+iyx + \mathrm{i}y 的形式，其中 x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}。

(4)

已知 w=413+5813iw = \dfrac{4}{13} + \dfrac{58}{13}\mathrm{i}

(c) 求 aa 和 bb 的值。

(2)

(d) 求 arg⁡w\arg w，答案用弧度表示，保留 4 位有效数字。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把两个复数相加，再用实部与虚部构成的直角三角形求模长。

答题过程

展开  z1+z2= (3+2i)+(2+3i)= (3+2)+(2+3)i= 5+5i.\begin{align*} &\,z_1+z_2\\ =&\,(3+2\mathrm{i})+(2+3\mathrm{i})\\ =&\,(3+2)+(2+3)\mathrm{i}\\ =&\,5+5\mathrm{i}. \end{align*}

Therefore,

∣z1+z2∣= 52+52= 52.\begin{align*} |z_1+z_2| =&\,\sqrt{5^2+5^2}\\ =&\,\boxed{5\sqrt2}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

用分母的共轭复数 3−2i3-2\mathrm{i} 将分母实数化。先把只含常数的两个因子相乘，再乘 a+bia+b\mathrm{i}，较容易准确收集实部与虚部。

答题过程

展开  w= 2+3i3+2i(a+bi).\begin{align*} &\,w\\ =&\,\frac{2+3\mathrm{i}}{3+2\mathrm{i}}(a+b\mathrm{i}). \end{align*}

Rationalising the constant factor,

 2+3i3+2i= 2+3i3+2i×3−2i3−2i.\begin{align*} &\,\frac{2+3\mathrm{i}}{3+2\mathrm{i}}\\ =&\,\frac{2+3\mathrm{i}}{3+2\mathrm{i}} \times\frac{3-2\mathrm{i}}{3-2\mathrm{i}}. \end{align*}

The numerator is

 (2+3i)(3−2i)= 6−4i+9i−6i2= 6+6+5i= 12+5i,\begin{align*} &\,(2+3\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})\\ =&\,6-4\mathrm{i}+9\mathrm{i}-6\mathrm{i}^2\\ =&\,6+6+5\mathrm{i}\\ =&\,12+5\mathrm{i}, \end{align*}

and the denominator is

 (3+2i)(3−2i)= 32−(2i)2= 9+4= 13.\begin{align*} &\,(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})\\ =&\,3^2-(2\mathrm{i})^2\\ =&\,9+4\\ =&\,13. \end{align*}

Therefore

 w= 12+5i13(a+bi).\begin{align*} &\,w\\ =&\,\frac{12+5\mathrm{i}}{13}(a+b\mathrm{i}). \end{align*}

Expanding the numerator of ww,

 (12+5i)(a+bi)= 12a+12bi +5ai+5bi2= 12a−5b+(5a+12b)i.\begin{align*} &\,(12+5\mathrm{i})(a+b\mathrm{i})\\ =&\,12a+12b\mathrm{i}\\ &\,\hspace{2pt}+5a\mathrm{i}+5b\mathrm{i}^2\\ =&\,12a-5b+(5a+12b)\mathrm{i}. \end{align*}

Hence

 w= 12a−5b13 +5a+12b13i.\begin{align*} &\,w\\ =&\,\frac{12a-5b}{13}\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{5a+12b}{13}\mathrm{i}. \end{align*}

Thus w=x+iyw=x+\mathrm{i}y, where

x=12a−5b13,\boxed{x=\frac{12a-5b}{13}}, y=5a+12b13.\boxed{y=\frac{5a+12b}{13}}.

(c)

解法一

思路

展开

两个复数相等时，实部相等且虚部相等。由此建立关于 a,ba,b 的两个一次方程，再用消元法求解。

答题过程

展开

Equating real and imaginary parts gives

12a−5b=412a-5b=4

and

5a+12b=58.5a+12b=58.

Multiplying the first equation by 1212 and the second by 55 gives

144a−60b=48144a-60b=48

and

25a+60b=290.25a+60b=290.

Adding,

169a=338,169a=338,

so a=2a=2. Substituting into 12a−5b=412a-5b=4,

24−5b=4,24-5b=4,

so b=4b=4. Therefore,

a=2,b=4.\boxed{a=2,\quad b=4}.

(d)

解法一

思路

展开

ww 的实部与虚部都为正，所以它位于第一象限，可直接用“虚部除以实部”的反正切求主辐角。

答题过程

展开

Since w=4/13+(58/13)iw=4/13+(58/13)\mathrm{i} lies in the first quadrant,

arg⁡w= tan⁡−1(58/134/13)= tan⁡−1(292)= 1.5019…\begin{align*} \arg w =&\,\tan^{-1}\Big( \frac{58/13}{4/13} \Big)\\ =&\,\tan^{-1}\Big(\frac{29}{2}\Big)\\ =&\,1.5019\ldots \end{align*}

Therefore, to 44 significant figures,

arg⁡w=1.502 radians.\boxed{\arg w=1.502\text{ radians}}.