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IAL 2023 May FP1 Q6

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2023 May Paper · Question 6

题目

Problem

6. In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

z1=3+2iz_1 = 3 + 2i, z2=2+3iz_2 = 2 + 3i, z3=a+biz_3 = a + bi, a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}

(a) Determine the exact value of ∣z1+z2∣|z_1 + z_2|

(2)

Given that w=z2z3z1w = \dfrac{z_2 z_3}{z_1}

(b) determine ww in terms of aa and bb, giving your answer in the form x+iyx + iy, where x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}

(4)

Given also that w=413+5813iw = \dfrac{4}{13} + \dfrac{58}{13}i

(c) determine the value of aa and the value of bb

(2)

(d) determine arg⁡w\arg w, giving your answer in radians to 4 significant figures.

(2)
题目中文翻译
  1. 在本题中必须展示所有解题步骤。完全依赖计算器技术的解答不可接受。

z1=3+2iz_1 = 3 + 2i，z2=2+3iz_2 = 2 + 3i，z3=a+biz_3 = a + bi，a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}

(a) 求 ∣z1+z2∣|z_1 + z_2| 的精确值。

已知 w=z2z3z1w = \dfrac{z_2 z_3}{z_1}

(b) 用 aa 和 bb 表示 ww，答案写成 x+iyx + iy 的形式，其中 x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}。

已知 w=413+5813iw = \dfrac{4}{13} + \dfrac{58}{13}i

(c) 求 aa 和 bb 的值。

(d) 求 arg⁡w\arg w，答案用弧度表示，保留 4 位有效数字。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把两个复数相加，再用实部与虚部构成的直角三角形求模长。

答题过程

展开 z1+z2=(3+2i)+(2+3i)=5+5i.z_1+z_2=(3+2\mathrm{i})+(2+3\mathrm{i}) =5+5\mathrm{i}.

Therefore,

∣z1+z2∣= 52+52= 52.\begin{align*} |z_1+z_2| =&\,\sqrt{5^2+5^2}\\ =&\,\boxed{5\sqrt2}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

用分母的共轭复数 3−2i3-2\mathrm{i} 将分母实数化。先把只含常数的两个因子相乘，再乘 a+bia+b\mathrm{i}，较容易准确收集实部与虚部。

答题过程

展开 w= (2+3i)(a+bi)3+2i= (2+3i)(3−2i)(a+bi)(3+2i)(3−2i).\begin{align*} w =&\,\frac{(2+3\mathrm{i})(a+b\mathrm{i})} {3+2\mathrm{i}}\\ =&\,\frac{(2+3\mathrm{i})(3-2\mathrm{i}) (a+b\mathrm{i})}{(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})}. \end{align*}

Writing the first two factors as a single product,

(2+3i)(3−2i)=12+5i.(2+3\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})=12+5\mathrm{i}.

Hence

w= (12+5i)(a+bi)13= 12a−5b+(5a+12b)i13= 12a−5b13+5a+12b13i.\begin{align*} w =&\,\frac{(12+5\mathrm{i})(a+b\mathrm{i})}{13}\\ =&\,\frac{12a-5b+(5a+12b)\mathrm{i}}{13}\\ =&\,\boxed{ \frac{12a-5b}{13} +\frac{5a+12b}{13}\mathrm{i} }. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

两个复数相等时，实部相等且虚部相等。由此建立关于 a,ba,b 的两个一次方程，再用消元法求解。

答题过程

展开

Equating real and imaginary parts gives

12a−5b=412a-5b=4

and

5a+12b=58.5a+12b=58.

Multiplying the first equation by 1212 and the second by 55 gives

144a−60b=48144a-60b=48

and

25a+60b=290.25a+60b=290.

Adding,

169a=338,169a=338,

so a=2a=2. Substituting into 12a−5b=412a-5b=4,

24−5b=4,24-5b=4,

so b=4b=4. Therefore,

a=2,b=4.\boxed{a=2,\quad b=4}.

(d)

解法一

思路

展开

ww 的实部与虚部都为正，所以它位于第一象限，可直接用“虚部除以实部”的反正切求主辐角。

答题过程

展开

Since w=4/13+(58/13)iw=4/13+(58/13)\mathrm{i} lies in the first quadrant,

arg⁡w= tan⁡−1(58/134/13)= tan⁡−1(292)= 1.5019…\begin{align*} \arg w =&\,\tan^{-1}\left( \frac{58/13}{4/13} \right)\\ =&\,\tan^{-1}\left(\frac{29}{2}\right)\\ =&\,1.5019\ldots \end{align*}

Therefore, to 44 significant figures,

arg⁡w=1.502 radians.\boxed{\arg w=1.502\text{ radians}}.