7. $f(x) = x^{\frac{3}{2}} + x - 3$

(a) 证明方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[1, 2]$ 内有一个根 $\alpha$。

(b) 从区间 $[1, 2]$ 开始，使用两次区间二分法证明 $\alpha$ 在区间 $[1.25, 1.5]$ 内。

(c) (i) 求 $f'(x)$。

(ii) 取 $1.375$ 作为 $\alpha$ 的第一个近似值，对 $f(x)$ 应用一次 Newton-Raphson 法，确定 $\alpha$ 的第二个近似值，答案保留 3 位小数。

(d) 在区间 $[1.25, 1.5]$ 上使用一次线性插值，得到 $\alpha$ 的另一个近似值，答案保留 3 位小数。

计算区间两端的函数值。函数在该区间连续且端点函数值异号，因此由介值定理可知区间内存在一个根。

The function $f$ is continuous on $[1,2]$, and

while

Since $f$ changes sign on $[1,2]$, there is a root $\alpha\in[1,2]$.

从 $[1,2]$ 开始连续取两次中点。第一次用 $f(1.5)>0$ 保留左半区间，第二次用 $f(1.25)<0$ 保留右半区间。

The first midpoint is

At this point,

Since $f(1)<0$, the root lies in $[1,1.5]$.

The second midpoint is

Then

Since $f(1.5)>0$,

对幂函数逐项求导，常数项的导数为零。

把初始近似值 $x_0=1.375$ 代入下面的 Newton-Raphson 公式，进行一次迭代。

Using

with $x_0=1.375$, first calculate

and

Write $F=f(1.375)$ and $D=f'(1.375)$. Then

Therefore

Therefore, to $3$ decimal places,

用端点 $(1.25,f(1.25))$ 与 $(1.5,f(1.5))$ 之间的直线近似曲线。按两侧竖直距离的比例分配区间长度，即可估计直线与 $x$ 轴的交点。

Let $A=f(1.25)$ and $B=f(1.5)$. From part (b),

Using linear interpolation,

To use the whole interval width, calculate

and $1.5-1.25=0.25$. Equivalently,

Therefore, to $3$ decimal places,

先求通过两个端点的直线方程，再令 $y=0$ 求直线与 $x$ 轴交点的横坐标。这就是一次线性插值。

Let $A=f(1.25)$ and $B=f(1.5)$. The gradient of the line through the two endpoint values is

Using the point $(1.25,A)$, its equation is

At the $x$-intercept, $y=0$, so

Hence

Therefore, to $3$ decimal places,

The calculations use unrounded endpoint values throughout.