已知矩阵 $\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 2k + 1 & k \\ k + 7 & k + 4 \end{pmatrix}$

其中 $k$ 为常数。

(a) 证明：对于所有实数 $k$，矩阵 $\mathbf{M}$ 都是非奇异矩阵（non-singular）。

(b) 用含 $k$ 的式子表示 $\mathbf{M}^{-1}$。

矩阵非奇异等价于行列式不为零。先求行列式，再配方为平方项加正常数，从而说明它对每个实数 $k$ 都严格为正。

For all real values of $k$,

Therefore, $\det\mathbf M\ne0$, so

把行列式视为关于 $k$ 的二次式。它的判别式为负，因此没有实数零点；又因二次项系数为正，所以行列式始终为正。

As in Method 1,

The discriminant of this quadratic is

Hence $\det\mathbf M$ has no real zeros. Since its leading coefficient is positive,

for all real $k$. Therefore,

官方评分资料也接受用最小值证明。对行列式关于 $k$ 求导，找出唯一驻点，再以二阶导数确认这是最小值；最小值仍大于零。

Let

Then

At a stationary point,

so $k=-1$. Since

this gives the minimum value of $D$. Moreover,

Thus $\det\mathbf M$ is never zero, and hence

使用二阶矩阵的逆矩阵公式：交换主对角元素，并把副对角元素变号，再除以 (a) 求得的行列式。

Using the inverse formula for a $2\times2$ matrix,

for all real $k$.