已知 $f(z) = 2z^3 + pz^2 + qz - 41$，其中 $p$ 和 $q$ 为整数。

复数 $5 - 4i$ 是方程 $f(z) = 0$ 的一个根。

(a) 直接写出该方程的另一个复数根。

(b) 完全解方程 $f(z) = 0$。

(c) 确定 $p$ 和 $q$ 的值。

当在 Argand 图上绘制时，方程 $f(z) = 0$ 的根所对应的点构成一个三角形的顶点。

(d) 确定该三角形的面积。

多项式系数均为实数，因此非实复根必成共轭对出现。

Since $f$ has real coefficients and $5-4\mathrm{i}$ is a root, its complex conjugate is also a root. Hence another root is

先由共轭复根构造实系数二次因式。再利用首项系数与常数项确定剩余的一次因式，即可列出全部三个根。

The conjugate pair gives the factor

Since the leading coefficient of $f$ is 2 and its constant term is $-41$,

Therefore,

利用三次多项式根积公式直接求第三根。两个共轭根的乘积是模长平方，而三个根的乘积由常数项和首项系数给出。

Let the third root be $r$. The product of the conjugate roots is

For the cubic $2z^3+pz^2+qz-41$, the product of all three roots is

Hence

so $r=1/2$. Thus

先把复根代入 $f(z)=0$，比较实部和虚部，联立求出整数 $p,q$；再分解所得三次多项式。这是官方评分资料给出的另一条完整路线，也同时得到 (c) 的答案。

Using the root $5+4\mathrm{i}$,

and

Substituting into $f(z)=0$ and equating real and imaginary parts gives

Solving these equations gives

Therefore,

Hence

承接 (b) 解法一，把已经确定的两个因式相乘，再比较 $z^2$ 与 $z$ 的系数。

From part (b),

Comparing this with

gives

利用三次方程的根与系数关系：三根之和确定 $p$，两两乘积之和确定 $q$。

The sum of the roots is

Hence

so $p=-21$.

The sum of the products of the roots taken two at a time is

Therefore,

so

直接使用 (b) 解法三中代入复根所得的实部、虚部方程，联立求解 $p,q$。

Substitution of $5+4\mathrm{i}$ into $f(z)=0$ gives

Dividing the second equation by 4,

so

Substituting into the first equation,

It follows that

Therefore,

在 Argand 图上，共轭根对应点 $(5,\pm4)$，第三个根对应点 $(1/2,0)$。取竖直线段为底，其长度为 8；第三点到直线 $x=5$ 的水平距离为 $9/2$。

The points representing the roots are

The vertical base has length 8, and the perpendicular height is

Therefore, the area of the triangle is