题目

Problem

The hyperbola $H$ has equation $xy = c^2$ where $c$ is a positive constant.

The point $P\left(ct, \frac{c}{t}\right)$ , where $t > 0$ , lies on $H$ .

The tangent to $H$ at $P$ meets the $x$ -axis at the point $A$ and meets the $y$ -axis at the point $B$ .

(a) Determine, in terms of $c$ and $t$ ,

(i) the coordinates of $A$ ,

(ii) the coordinates of $B$ .

(4)

Given that the area of triangle $AOB$ , where $O$ is the origin, is $90$ square units,

(b) determine the value of $c$ , giving your answer as a simplified surd.

(2)

题目中文翻译

双曲线 $H$ 的方程为 $xy = c^2$ ，其中 $c$ 为正常数。

点 $P\left(ct, \frac{c}{t}\right)$ （其中 $t > 0$ ）在 $H$ 上。

$H$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ 。

(a) 用 $c$ 和 $t$ 表示确定：

(i) $A$ 的坐标，

(ii) $B$ 的坐标。

已知三角形 $AOB$ 的面积为 $90$ 平方单位，其中 $O$ 为原点，

(b) 确定 $c$ 的值，答案以最简根式表示。

解答

(a)

解法一

思路

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先由双曲线方程求导，并在参数点 $P$ 处得到切线斜率。写出切线的点斜式后，分别令 $y=0$ 与 $x=0$ ，即可求出两个截距点。

答题过程

展开

From

y=\frac{c^2}{x},

we have

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =-\frac{c^2}{x^2}.

At $P$ , where $x=ct$ , the gradient is

-\frac{c^2}{(ct)^2}=-\frac1{t^2}.

Hence the tangent at $P$ is

y-\frac ct=-\frac1{t^2}(x-ct).

For the $x$ -intercept, set $y=0$ :

\begin{align*} -\frac ct =&\,-\frac1{t^2}(x-ct),\\ x=&\,2ct. \end{align*}

Therefore,

\boxed{A(2ct,0)}.

For the $y$ -intercept, set $x=0$ :

\begin{align*} y-\frac ct =&\,-\frac1{t^2}(-ct),\\ y=&\,\frac{2c}{t}. \end{align*}

Therefore,

\boxed{B\left(0,\frac{2c}{t}\right)}.

(b)

解法一

思路

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三角形 $AOB$ 是直角三角形，两条直角边就是 (a) 求得的正截距。代入面积公式后参数 $t$ 会消去，再利用 $c>0$ 选取正根。

答题过程

展开

Since $c>0$ and $t>0$ , both intercepts are positive. Therefore,

\begin{align*} \frac12(2ct)\left(\frac{2c}{t}\right) =&\,90,\\ 2c^2=&\,90,\\ c^2=&\,45. \end{align*}

Since $c$ is positive,

\boxed{c=3\sqrt5}.

IAL 2024 Jan FP1 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程