题目

Problem

The parabola $C$ has equation $y^2 = \dfrac{4}{3}x$

The point $P\Big(\dfrac{1}{3}t^2, \dfrac{2}{3}t\Big)$ , where $t \neq 0$ , lies on $C$ .

(a) Use calculus to show that the normal to $C$ at $P$ has equation

3tx + 3y = t^3 + 2t

(3)

The normal to $C$ at the point where $t = 9$ meets $C$ again at the point $Q$ .

(b) Determine the exact coordinates of $Q$ .

(4)

题目中文翻译

抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = \dfrac{4}{3}x$ 。

点 $P\Big(\dfrac{1}{3}t^2, \dfrac{2}{3}t\Big)$ （其中 $t \neq 0$ ）在 $C$ 上。

(a) 使用微积分证明： $C$ 在点 $P$ 处的法线方程为

3tx + 3y = t^3 + 2t

(3)

$C$ 在 $t = 9$ 处的法线再次与 $C$ 相交于点 $Q$ 。

(b) 确定 $Q$ 的精确坐标。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

把 $x$ 、 $y$ 都视为参数 $t$ 的函数，用参数方程求导得到切线斜率；法线斜率是其负倒数。再将点 $P$ 代入点斜式并整理。

答题过程

展开

Since

x=\frac13t^2 \quad\text{and}\quad y=\frac23t,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=&\,\frac23t,\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=&\,\frac23. \end{align*}

Therefore,

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t} =\frac1t.

As $t\ne0$ , the gradient of the normal is $-t$ . Hence its equation at $P$ is

y-\frac23t=-t\Big(x-\frac13t^2\Big).

Multiplying by 3 gives

3y-2t=-3tx+t^3.

Rearranging gives

\boxed{3tx+3y=t^3+2t}.

解法二

思路

展开

直接对抛物线方程作隐式微分，再代入点 $P$ 的纵坐标求切线斜率。取负倒数后，用点斜式写法线并整理。

答题过程

展开

Differentiating the equation of $C$ implicitly,

2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac43.

Hence

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac2{3y}.

At $P$ , where $y=2t/3$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac2{3(2t/3)}\\ =&\,\frac1t. \end{align*}

Since $t\ne0$ , the gradient of the normal is $-t$ . Its equation is

y-\frac23t=-t\Big(x-\frac13t^2\Big).

Multiplying by 3,

3y-2t=-3tx+t^3.

Therefore,

\boxed{3tx+3y=t^3+2t}.

(b)

解法一

思路

展开

令 $t=9$ 得到法线方程，再用抛物线方程将 $x$ 写成 $y$ 的二次式。所得二次方程的一个根对应已知交点，另一个根便对应 $Q$ 。

答题过程

展开

When $t=9$ , the equation of the normal is

27x+3y=747,

9x+y=249.

Since $Q$ also lies on $C$ ,

x=\frac34y^2.

Substituting into the normal gives

\begin{align*} 9\Big(\frac34y^2\Big)+y =&\,249,\\ 27y^2+4y=&\,996,\\ 27y^2+4y-996 =&\,0,\\ (y-6)(27y+166) =&\,0. \end{align*}

The root $y=6$ corresponds to the original point where $t=9$ . Therefore, at $Q$ ,

y=-\frac{166}{27}.

Thus

\begin{align*} x=&\,\frac34\Big(-\frac{166}{27}\Big)^2\\ =&\,\frac34\times\frac{27556}{729}\\ =&\,\frac{6889}{243}. \end{align*}

Hence

\boxed{Q\Big(\frac{6889}{243},-\frac{166}{27}\Big)}.

解法二

思路

展开

直接以另一个参数表示法线与抛物线的交点。将抛物线参数式代入 $t=9$ 时的法线，二次方程的两个参数根分别对应原交点 $P$ 与第二交点 $Q$ 。

答题过程

展开

Let the parameter of a point where the normal meets $C$ be $u$ . Then

x=\frac13u^2, \qquad y=\frac23u.

Substituting these into $9x+y=249$ gives

\begin{align*} 3u^2+\frac23u =&\,249,\\ 9u^2+2u=&\,747,\\ 9u^2+2u-747 =&\,0,\\ (u-9)(9u+83) =&\,0. \end{align*}

The root $u=9$ corresponds to the original point. Hence the parameter of $Q$ is

u=-\frac{83}{9}.

Therefore,

\begin{align*} x_Q=&\,\frac13\Big(-\frac{83}{9}\Big)^2\\ =&\,\frac{6889}{243},\\ y_Q=&\,\frac23\Big(-\frac{83}{9}\Big)\\ =&\,-\frac{166}{27}. \end{align*}

Thus

\boxed{Q\Big(\frac{6889}{243},-\frac{166}{27}\Big)}.

FP1 2024 Jan Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程