题目

Problem

(a) Use the standard results for summations to show that, for all positive integers $n$ ,

$\sum_{r=1}^{n} r(2r^2 - 3r - 1) = \frac{1}{2}n(n + 1)^2(n - 2)$

(4)

(b) Hence show that, for all positive integers $n$ ,

$\sum_{r=n}^{2n} r(2r^2 - 3r - 1) = \frac{1}{2}n(n - 1)(an + b)(cn + d)$

where $a$ , $b$ , $c$ and $d$ are integers to be determined.

(4)

题目中文翻译

(a) 使用求和的标准结果证明：对于所有正整数 $n$ ， $\sum_{r=1}^{n} r(2r^2 - 3r - 1) = \frac{1}{2}n(n + 1)^2(n - 2)$

(b) 由此证明：对于所有正整数 $n$ ， $\sum_{r=n}^{2n} r(2r^2 - 3r - 1) = \frac{1}{2}n(n - 1)(an + b)(cn + d)$ 其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 为待确定的整数。

解答

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先展开被求和项，再分别使用 $\sum r$ 、 $\sum r^2$ 与 $\sum r^3$ 的标准结果。最后提出公因式并因式分解，即可得到题目要求的形式。

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Using the standard results for summations,

\begin{align*} \sum_{r=1}^{n}r(2r^2-3r-1) =&\,2\sum_{r=1}^{n}r^3 -3\sum_{r=1}^{n}r^2 -\sum_{r=1}^{n}r\\ =&\,2\left[\frac{n^2(n+1)^2}{4}\right] -3\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] -\frac{n(n+1)}{2}\\ =&\,\frac12n(n+1) \left[n(n+1)-(2n+1)-1\right]\\ =&\,\frac12n(n+1)(n^2-n-2)\\ =&\,\boxed{\frac12n(n+1)^2(n-2)}. \end{align*}

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设 (a) 的部分和为 $F(n)$ 。由于本题从 $r=n$ 开始且包含第 $n$ 项，应计算 $F(2n)-F(n-1)$ ；代入 (a) 的结果后再因式分解，并与指定形式比较系数。

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Let

F(n)=\sum_{r=1}^{n}r(2r^2-3r-1) =\frac12n(n+1)^2(n-2).

Then

\begin{align*} \sum_{r=n}^{2n}r(2r^2-3r-1) =&\,F(2n)-F(n-1)\\ =&\,\frac12(2n)(2n+1)^2(2n-2)\\ &\,-\frac12(n-1)n^2(n-3)\\ =&\,\frac12n(n-1) \left[4(2n+1)^2-n(n-3)\right]\\ =&\,\frac12n(n-1)(15n^2+19n+4)\\ =&\,\boxed{\frac12n(n-1)(15n+4)(n+1)}. \end{align*}

Therefore, one valid set of integer values is

\boxed{a=15,\quad b=4,\quad c=1,\quad d=1}.