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IAL 2024 May FP1 Q1

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2024 May Paper · Question 1

题目

Problem

(i) The matrix A\mathbf{A} is defined by

A=(3k4k−126)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3k & 4k - 1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}

where kk is a constant.

(a) Determine the value of kk for which A\mathbf{A} is singular.

(2)

Given that A\mathbf{A} is non-singular,

(b) determine A−1\mathbf{A}^{-1} in terms of kk, giving your answer in simplest form.

(2)

(ii) The matrix B\mathbf{B} is defined by

B=(p00q)\mathbf{B} = \begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix}

where pp and qq are integers.

State the value of pp and the value of qq when B\mathbf{B} represents

(a) an enlargement about the origin with scale factor −2-2

(b) a reflection in the yy-axis.

(2)
题目中文翻译

(i) 矩阵 A\mathbf{A} 定义如下： A=(3k4k−126)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3k & 4k - 1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}

其中 kk 为常数。

(a) 确定使 A\mathbf{A} 为奇异矩阵（singular）的 kk 值。

已知 A\mathbf{A} 为非奇异矩阵，

(b) 用含 kk 的最简形式表示 A−1\mathbf{A}^{-1}。

(ii) 矩阵 B\mathbf{B} 定义如下： B=(p00q)\mathbf{B} = \begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix}

其中 pp 和 qq 均为整数。

当 B\mathbf{B} 代表以下变换时，分别写出 pp 和 qq 的值：

(a) 以原点为中心、比例因子为 −2-2 的位似变换（enlargement）

(b) 关于 yy 轴的反射变换

解答

(i)(a)

解法一

思路

展开

矩阵为奇异矩阵当且仅当其行列式为零。先求 det⁡A\det\mathbf A，再令其等于零并解出 kk。

答题过程

展开

For A\mathbf A to be singular,

det⁡A=0.\det\mathbf A=0.

Thus

3k(6)−2(4k−1)= 018k−8k+2= 010k+2= 0.\begin{align*} 3k(6)-2(4k-1) =&\,0\\ 18k-8k+2 =&\,0\\ 10k+2 =&\,0. \end{align*}

Therefore,

k=−15.\boxed{k=-\frac15}.

(i)(b)

解法一

思路

展开

使用二阶矩阵的逆矩阵公式：交换主对角线元素，改变副对角线元素的符号，再除以行列式。题目已说明矩阵非奇异，因此所得分母不为零。

答题过程

展开

The determinant is

det⁡A=10k+2.\det\mathbf A=10k+2.

Therefore,

A−1=110k+2(61−4k−23k).\boxed{ \mathbf A^{-1} =\frac1{10k+2} \begin{pmatrix} 6&1-4k\\ -2&3k \end{pmatrix} }.

(ii)(a)

解法一

思路

展开

以原点为中心、比例因子为 −2-2 的位似变换，会把两个坐标都乘以 −2-2，所以矩阵的两个对角元素相同。

答题过程

展开

An enlargement about the origin with scale factor −2-2 is represented by

(−200−2).\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}.

Hence

p=−2,q=−2.\boxed{p=-2, \qquad q=-2}.

(ii)(b)

解法一

思路

展开

关于 yy 轴反射会把 xx 坐标变号，而保持 yy 坐标不变，因此相应的对角元素分别为 −1-1 与 11。

答题过程

展开

A reflection in the yy-axis maps

(x,y)↦(−x,y),(x,y)\mapsto(-x,y),

so it is represented by

(−1001).\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Therefore,

p=−1,q=1.\boxed{p=-1, \qquad q=1}.