已知函数

方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[0.25, 1]$ 内有一个根 $\alpha$。

(a) 在区间 $[0.25, 1]$ 上应用一次线性插值法来确定 $\alpha$ 的近似值，结果保留 3 位小数。

方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[1.5, 2.5]$ 内有另一个根 $\beta$。

(b) 求出 $f'(x)$。

(c) 以 $x_0 = 1.75$ 作为 $\beta$ 的首次近似值，对 $f(x)$ 应用一次 Newton–Raphson 迭代法来确定 $\beta$ 的第二次近似值，结果保留 3 位小数。

先计算区间两端的函数值，再把两端点之间的曲线近似为直线。使用线性插值公式求这条直线与 $x$ 轴的交点。

At the endpoints,

and

Using linear interpolation,

Therefore, to 3 decimal places,

先把根号写成 $x^{1/2}$，再逐项使用幂函数求导法则。

Writing $\sqrt{x}=x^{1/2}$,

Hence,

承接 (b) 的导函数，把 $x_0=1.75$ 代入 Newton–Raphson 公式，只迭代一次，并将第二次近似值保留 3 位小数。

Using

we have

and

Therefore,

Hence, to 3 decimal places,