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IAL 2024 May FP1 Q4

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2024 May Paper · Question 4

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

The complex number zz is defined by

z=−3+4iz = -3 + 4\mathrm{i}

(a) Determine ∣z2−3∣\big|z^2 - 3\big|

(3)

(b) Express 50z∗\dfrac{50}{z^*} in the form kzkz, where kk is a positive integer.

(3)

(c) Hence find the value of arg⁡(50z∗)\arg\left(\dfrac{50}{z^*}\right)

Give your answer in radians to 3 significant figures.

(2)
题目中文翻译

本题必须展示完整解题过程，不允许完全依赖计算器技术。

复数 zz 定义如下： z=−3+4iz = -3 + 4\mathrm{i}

(a) 确定 ∣z2−3∣\big|z^2 - 3\big| 的值。

(b) 将 50z∗\dfrac{50}{z^*} 表示为 kzkz 的形式，其中 kk 为正整数。

(c) 由此求 arg⁡(50z∗)\arg\left(\dfrac{50}{z^*}\right) 的值，结果以弧度表示，保留 3 位有效数字。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先计算复数 z2−3z^2-3，再用实部与虚部的平方和开根号求其模。题目要求展示过程，因此不能直接写出模的数值。

答题过程

展开 z2−3= (−3+4i)2−3= 9−24i−16−3= −10−24i.\begin{align*} z^2-3 =&\,(-3+4\mathrm{i})^2-3\\ =&\,9-24\mathrm{i}-16-3\\ =&\,-10-24\mathrm{i}. \end{align*}

Therefore,

∣z2−3∣= (−10)2+(−24)2= 676= 26.\begin{align*} \big|z^2-3\big| =&\,\sqrt{(-10)^2+(-24)^2}\\ =&\,\sqrt{676}\\ =&\,\boxed{26}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先写出 zz 的共轭复数，再将分子、分母同乘分母的共轭，使分母化为实数。所得分子正好是 zz 的整数倍。

答题过程

展开

Since

z∗=−3−4i,z^*=-3-4\mathrm{i},

we have

50z∗= 50−3−4i×−3+4i−3+4i= 50(−3+4i)9+16= 2(−3+4i)= 2z.\begin{align*} \frac{50}{z^*} =&\,\frac{50}{-3-4\mathrm{i}} \times\frac{-3+4\mathrm{i}}{-3+4\mathrm{i}}\\ =&\,\frac{50(-3+4\mathrm{i})}{9+16}\\ =&\,2(-3+4\mathrm{i})\\ =&\,2z. \end{align*}

Thus

k=2.\boxed{k=2}.

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受使用恒等式 zz∗=∣z∣2zz^*=|z|^2。先由此把 1/z∗1/z^* 写成含 zz 的式子，可以更直接地得到所需形式。

答题过程

展开

Since

zz∗=∣z∣2=(−3)2+42=25,zz^*=|z|^2=(-3)^2+4^2=25,

it follows that

1z∗=z25.\frac1{z^*}=\frac z{25}.

Hence

50z∗=50(z25)=2z,\frac{50}{z^*}=50\left(\frac z{25}\right)=2z,

so

k=2.\boxed{k=2}.

(c)

解法一

思路

展开

承接 (b)，由于乘以正实数 2 不改变复数的辐角，所以只需求 zz 的主辐角。点 (−3,4)(-3,4) 位于第二象限，需要用 π\pi 减去参考角。

答题过程

展开

From part (b),

arg⁡(50z∗)=arg⁡(2z)=arg⁡z.\arg\left(\frac{50}{z^*}\right)=\arg(2z)=\arg z.

Since z=−3+4iz=-3+4\mathrm{i} lies in the second quadrant,

arg⁡z= π−arctan⁡(43)= 2.214297….\begin{align*} \arg z =&\,\pi-\arctan\left(\frac43\right)\\ =&\,2.214297\ldots. \end{align*}

Therefore, to 3 significant figures,

arg⁡(50z∗)=2.21 radians.\boxed{\arg\left(\frac{50}{z^*}\right)=2.21\text{ radians}}.