题目

Problem

The equation $5x^2 - 4x + 2 = 0$ has roots $\dfrac{1}{p}$ and $\dfrac{1}{q}$

(a) Without solving the equation,

(i) show that $pq = \dfrac{5}{2}$

(ii) determine the value of $p + q$

(4)

(b) Hence, without finding the values of $p$ and $q$ , determine a quadratic equation with roots

\frac{p}{p^2 + 1}

and

\frac{q}{q^2 + 1}

giving your answer in the form $ax^2 + bx + c = 0$ where $a$ , $b$ and $c$ are integers.

(5)

题目中文翻译

方程 $5x^2 - 4x + 2 = 0$ 的两个根为 $\dfrac{1}{p}$ 和 $\dfrac{1}{q}$ 。

(a) 在不解方程的情况下：

(i) 证明 $pq = \dfrac{5}{2}$

(ii) 确定 $p + q$ 的值

(4)

(b) 由此，在不求出 $p$ 和 $q$ 的具体值的情况下，确定一个以

\frac{p}{p^2 + 1}

与

\frac{q}{q^2 + 1}

为根的二次方程，将答案表示为 $ax^2 + bx + c = 0$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为整数。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

直接对原方程的两个根 $1/p$ 、 $1/q$ 使用根与系数关系。先由根之积求 $pq$ ，再把根之和写成 $(p+q)/(pq)$ ，并使用前一结果求 $p+q$ 。

答题过程

展开

(i)

Using the product of the roots,

\frac1p\times\frac1q=\frac25.

Therefore,

\frac1{pq}=\frac25 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{pq=\frac52}.

(ii)

Using the sum of the roots,

\frac1p+\frac1q=\frac45.

Hence, using part (i),

\begin{align*} \frac{p+q}{pq} =&\,\frac45\\ p+q =&\,\frac45\big(\frac52\big)\\ =&\,\boxed{2}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以使用变量替换法。令 $x=1/u$ 并整理，可得到一个以 $p,q$ 为根的新二次方程，再直接读取其根之和与根之积。

答题过程

展开

Let

x=\frac1u.

Substituting into $5x^2-4x+2=0$ gives

5\big(\frac1u\big)^2 -4\big(\frac1u\big)+2=0.

Multiplying by $u^2$ ,

2u^2-4u+5=0.

Since its roots are $p$ and $q$ , the sum and product of the roots give

\boxed{p+q=2, \qquad pq=\frac52}.

(b)

解法一

思路

展开

设两个新根为 $u,v$ ，分别求其和与积。通分后，把所有对称式改写成只含 $p+q$ 与 $pq$ 的形式，再使用 (a) 的结果。最后用“ $x^2-$ 根之和乘 $x+$ 根之积”建立方程。

答题过程

展开

Let

\begin{gathered} u=\frac{p}{p^2+1},\\ v=\frac{q}{q^2+1}. \end{gathered}

First,

\begin{align*} &\,(p^2+1)(q^2+1)\\ =&\,p^2q^2+p^2+q^2+1\\ =&\,(pq)^2+(p+q)^2\\ &\,\hspace{2pt}-2pq+1\\ =&\,\big(\tfrac52\big)^2+2^2\\ &\,\hspace{2pt}-2\big(\tfrac52\big)+1\\ =&\,\frac{25}{4}. \end{align*}

For the numerator of the sum,

\begin{align*} &\,p(q^2+1)+q(p^2+1)\\ =&\,pq^2+p+p^2q+q\\ =&\,pq^2+p^2q+p+q\\ =&\,pq(p+q)+(p+q)\\ =&\,(p+q)(pq+1). \end{align*}

The sum of the new roots is therefore

\begin{align*} &\,u+v\\ =&\,\frac{p(q^2+1)+q(p^2+1)} {(p^2+1)(q^2+1)}\\ =&\,\frac{pq^2+p+p^2q+q}{25/4}\\ =&\,\frac{pq(p+q)+(p+q)}{25/4}\\ =&\,\frac{(p+q)(pq+1)}{25/4}\\ =&\,\frac{2\big(\frac52+1\big)}{25/4}\\ =&\,\frac{28}{25}. \end{align*}

Their product is

\begin{align*} uv =&\,\frac{pq}{(p^2+1)(q^2+1)}\\ =&\,\frac{5/2}{25/4}\\ =&\,\frac25. \end{align*}

Therefore, the required equation is

x^2-\frac{28}{25}x+\frac25=0.

Multiplying by 25 gives

\boxed{25x^2-28x+10=0}.

FP1 2024 May Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程