方程 $5x^2 - 4x + 2 = 0$ 的两个根为 $\dfrac{1}{p}$ 和 $\dfrac{1}{q}$。

(a) 在不解方程的情况下：

(i) 证明 $pq = \dfrac{5}{2}$

(ii) 确定 $p + q$ 的值

(b) 由此，在不求出 $p$ 和 $q$ 的具体值的情况下，确定一个以 $\frac{p}{p^2 + 1} \quad \text{与} \quad \frac{q}{q^2 + 1}$

为根的二次方程，将答案表示为 $ax^2 + bx + c = 0$ 的形式，其中 $a$、$b$、$c$ 均为整数。

直接对原方程的两个根 $1/p$、$1/q$ 使用根与系数关系。先由根之积求 $pq$，再把根之和写成 $(p+q)/(pq)$，并使用前一结果求 $p+q$。

(i)

Using the product of the roots,

Therefore,

(ii)

Using the sum of the roots,

Hence, using part (i),

官方评分资料还给出了变量替换法。令 $x=1/u$ 并整理，可得到一个以 $p,q$ 为根的新二次方程，再直接读取其根之和与根之积。

Let

Substituting into $5x^2-4x+2=0$ gives

Multiplying by $u^2$,

Since its roots are $p$ and $q$, the sum and product of the roots give

设两个新根为 $u,v$，分别求其和与积。通分后，把所有对称式改写成只含 $p+q$ 与 $pq$ 的形式，再使用 (a) 的结果。最后用“$x^2-$ 根之和乘 $x+$ 根之积”建立方程。

Let

First,

The sum of the new roots is

Their product is

Therefore, the required equation is

Multiplying by 25 gives