题目

Problem

(a) Prove by induction that for $n \in \mathbb{Z}^+$

\begin{align*} &\,\begin{pmatrix} 1 & r \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n\\ =&\,\begin{pmatrix} 1 & (2^n - 1)r \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} \end{align*}

where $r$ is a constant.

(4)

\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}

\mathbf{N} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^4

The transformation represented by matrix $\mathbf{M}$ followed by the transformation represented by matrix $\mathbf{N}$ is represented by the matrix $\mathbf{B}$

(b) (i) Determine $\mathbf{N}$ in the form $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ where $a$ , $b$ , $c$ and $d$ are integers.

(ii) Determine $\mathbf{B}$

(3)

Hexagon $S$ is transformed onto hexagon $S'$ by matrix $\mathbf{B}$

(2)

题目中文翻译

(a) 用数学归纳法证明，对于所有正整数 $n \in \mathbb{Z}^+$ ，

\begin{align*} &\,\begin{pmatrix} 1 & r \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n\\ =&\,\begin{pmatrix} 1 & (2^n - 1)r \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} \end{align*}

其中 $r$ 为常数。

(4)

设

\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}

\mathbf{N} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^4

先进行矩阵 $\mathbf{M}$ 代表的变换，再进行矩阵 $\mathbf{N}$ 代表的变换，其合成变换由矩阵 $\mathbf{B}$ 表示。

(b) (i) 将 $\mathbf{N}$ 表示为 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 均为整数。

(ii) 确定 $\mathbf{B}$ 。

(3)

六边形 $S$ 经矩阵 $\mathbf{B}$ 变换为六边形 $S'$ 。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先验证 $n=1$ 。归纳步骤中，假设公式对 $n=k$ 成立，再用原矩阵左乘其 $k$ 次幂；矩阵乘法后重点整理右上角元素。

答题过程

展开

Let

\mathbf A=\begin{pmatrix}1&r\\0&2\end{pmatrix}.

For $n=1$ ,

\begin{align*} &\,\mathbf A\\ =&\,\begin{pmatrix}1&r\\0&2\end{pmatrix}\\ =&\,\begin{pmatrix} 1&(2^1-1)r\\ 0&2^1 \end{pmatrix}, \end{align*}

so the result is true for $n=1$ .

Assume that the result is true for $n=k$ , where $k\in\mathbb Z^+$ . Thus

\mathbf A^k =\begin{pmatrix} 1&(2^k-1)r\\ 0&2^k \end{pmatrix}.

Then

\begin{align*} &\,\mathbf A^{k+1}\\ =&\,\mathbf A\mathbf A^k\\ =&\, \begin{pmatrix}1&r\\0&2\end{pmatrix}\\ &\,\hspace{2pt}\times\begin{pmatrix} 1&(2^k-1)r\\ 0&2^k \end{pmatrix}\\ =&\, \begin{pmatrix} 1&(2^k-1)r+2^kr\\ 0&2^{k+1} \end{pmatrix}\\ =&\, \begin{pmatrix} 1&(2^{k+1}-1)r\\ 0&2^{k+1} \end{pmatrix}. \end{align*}

In particular, the top-right entry simplifies as follows:

\begin{align*} &\,(2^k-1)r+2^kr\\ =&\,(2^k-1+2^k)r\\ =&\,(2\cdot2^k-1)r\\ =&\,(2^{k+1}-1)r. \end{align*}

Therefore, if the result is true for $n=k$ , it is true for $n=k+1$ . Since it is true for $n=1$ , by mathematical induction,

\boxed{ \mathbf A^n =\begin{pmatrix} 1&(2^n-1)r\\ 0&2^n \end{pmatrix} }

for all $n\in\mathbb Z^+$ .

(b)

解法一

思路

展开

(i) 在 (a) 的公式中代入 $r=-2$ 、 $n=4$ 即可求出 $\mathbf N$ 。(ii) 先做 $\mathbf M$ 所表示的变换，再做 $\mathbf N$ 所表示的变换，因此合成矩阵的乘法顺序是 $\mathbf B=\mathbf N\mathbf M$ 。

答题过程

展开

(i)

Using part (a) with $r=-2$ and $n=4$ ,

\begin{align*} \mathbf N =&\, \begin{pmatrix}1&-2\\0&2\end{pmatrix}^4\\ =&\, \begin{pmatrix} 1&(2^4-1)(-2)\\ 0&2^4 \end{pmatrix}\\ =&\,\boxed{ \begin{pmatrix}1&-30\\0&16\end{pmatrix}}. \end{align*}

(ii)

Since the transformation represented by $\mathbf M$ is followed by the transformation represented by $\mathbf N$ ,

\begin{align*} \mathbf B =&\,\mathbf N\mathbf M\\ =&\, \begin{pmatrix}1&-30\\0&16\end{pmatrix} \\ &\,\hspace{2pt}\times\begin{pmatrix}4&0\\0&5\end{pmatrix}\\ =&\,\boxed{ \begin{pmatrix}4&-150\\0&80\end{pmatrix}}. \end{align*}

Writing $\mathbf B=(b_{ij})$ , its entries are

\begin{align*} b_{11}=&\,1(4)+(-30)(0)\\ =&\,4,\\ b_{12}=&\,1(0)+(-30)(5)\\ =&\,-150,\\ b_{21}=&\,0(4)+16(0)\\ =&\,0,\\ b_{22}=&\,0(0)+16(5)\\ =&\,80. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

二维线性变换把面积放大 $|\det\mathbf B|$ 倍。先求面积比例，再用变换后面积除以该比例。

答题过程

展开

The area scale factor is

\begin{align*} &\,\big|\det\mathbf B\big|\\ =&\,\big|4(80)-0(-150)\big|\\ =&\,320. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,\operatorname{Area}(S)\\ =&\,\frac{\operatorname{Area}(S')}{320}\\ =&\,\frac{720}{320}\\ =&\,\boxed{\frac94}. \end{align*}

The area of $S$ is $\frac94$ square units.

FP1 2024 May Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程