等轴双曲线 $H$ 的方程为 $xy = c^2$，其中 $c$ 为正常数。

点 $P\Big(ct, \dfrac{c}{t}\Big)$（其中 $t > 0$）位于 $H$ 上。

(a) 利用微积分学证明，双曲线 $H$ 在点 $P$ 处的法线方程为

抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = 6x$。

双曲线 $H$ 在点 $(8, 2)$ 处的法线与抛物线 $C$ 相交于点 $Q$（其中 $y > 0$）。

(b) 确定点 $Q$ 的精确坐标。

已知：

• 点 $R$ 是抛物线 $C$ 的焦点
• 直线 $l$ 是抛物线 $C$ 的准线
• 过 $Q$ 和 $R$ 的直线与 $l$ 相交于点 $S$

(c) 确定 $QS$ 的精确长度。

由双曲线方程把 $y$ 写成 $x$ 的函数并求导。先求点 $P$ 处的切线斜率，再利用法线斜率是其负倒数，最后把点 $P$ 代入点斜式并整理成题目指定的形式。

Since $xy=c^2$,

Hence

At $P\big(ct,\frac ct\big)$, the gradient of the tangent is

Therefore, the gradient of the normal is

Using the point-gradient form,

Multiplying by $t$ and rearranging gives

Thus an equation of the normal is

先由点 $(8,2)$ 在双曲线上求出 $c$ 与 $t$，再代入 (a) 的法线方程。把所得直线与抛物线联立，并用 $y>0$ 排除另一个交点。

Since $(8,2)$ lies on $xy=c^2$ and $c>0$,

Also, $ct=8$, so

Substituting $c=4$ and $t=2$ into the normal from part (a),

so

On the parabola, $x=\frac{y^2}{6}$. Therefore,

Since $y>0$,

Thus

Hence

也可以使用抛物线参数方程。将 $y^2=6x$ 写成 $y^2=4ax$，用参数点 $(au^2,2au)$ 表示 $Q$，再代入法线方程求参数。

For $y^2=6x$, we have $4a=6$, so $a=\frac32$. A parametric point on the parabola is therefore

As above, $c=4$, $t=2$, and the normal is

Substituting the parametric coordinates gives

Since $y=3u>0$, we require $u>0$, so $u=\frac52$. Hence

Therefore,

由 $y^2=4ax$ 求焦点与准线。先建立直线 $QR$，求它与准线的交点 $S$，再用两点间距离公式求 $QS$。

For $y^2=4ax$ with $a=\frac32$, the focus and directrix are

The gradient of $QR$ is

Hence the equation of $QR$ is

At $S$, $x=-\frac32$, so

Thus

For the coordinate differences from $S$ to $Q$, write

The sum of their squares is

Using the distance formula,

利用抛物线定义：焦点到抛物线上一点的距离，等于该点到准线的垂直距离，因此可直接求出 $QR$。又因为 $Q,R,S$ 共线且 $R$ 位于 $Q$ 与 $S$ 之间，所以 $QS=QR+RS$。

Since $Q$ lies on the parabola, its distance from the focus equals its perpendicular distance from the directrix. Therefore,

From the equation of $QR$ found above,

The coordinate differences from $S$ to $R$ are

Hence

Since $Q$, $R$ and $S$ are collinear, with $R$ between $Q$ and $S$,