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IAL 2025 Jan FP1 Q1

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2025 Jan Paper · Question 1

题目

Problem

P=(p−1p+1−3p)\mathbf{P} = \begin{pmatrix} p - 1 & p + 1 \\ -3 & p \end{pmatrix}

where pp is a constant

(a) Determine det⁡P\det \mathbf{P} in simplest form in terms of pp.

(2)

(b) Hence show that P\mathbf{P} is non-singular for all real values of pp.

(2)

(c) Determine P−1\mathbf{P}^{-1} in terms of pp.

(2)
题目中文翻译

已知矩阵 P=(p−1p+1−3p)\mathbf{P} = \begin{pmatrix} p - 1 & p + 1 \\ -3 & p \end{pmatrix}

其中 pp 为常数。

(a) 用含 pp 的最简形式确定 det⁡P\det \mathbf{P}。

(b) 由此证明：对于所有实数 pp，矩阵 P\mathbf{P} 都是非奇异矩阵（non-singular）。

(c) 用含 pp 的式子表示 P−1\mathbf{P}^{-1}。

解答

(a)

解法一

思路

展开

使用二阶矩阵的行列式公式 ad−bcad-bc，再展开并合并同类项。

答题过程

展开 det⁡P= p(p−1)−(−3)(p+1)= p2−p+3p+3= p2+2p+3.\begin{align*} \det\mathbf P =&\,p(p-1)-(-3)(p+1)\\ =&\,p^2-p+3p+3\\ =&\,\boxed{p^2+2p+3}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a) 的结果，把行列式配方为一个平方与正常数之和。这样可直接证明它对所有实数 pp 都不为零。

答题过程

展开

From part (a),

det⁡P= p2+2p+3= (p+1)2+2.\begin{align*} \det\mathbf P =&\,p^2+2p+3\\ =&\,(p+1)^2+2. \end{align*}

For every real value of pp,

(p+1)2+2⩾2>0.(p+1)^2+2\geqslant2>0.

Therefore, det⁡P≠0\det\mathbf P\neq0 for all real pp, so

P is non-singular for all real p.\boxed{\mathbf P\text{ is non-singular for all real }p}.

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受判别式论证。把 (a) 的行列式看作关于 pp 的二次式；若其判别式小于零，且二次项系数为正，它便不会在实数范围内等于零。

答题过程

展开

For p2+2p+3p^2+2p+3, the discriminant is

Δ=22−4(1)(3)=−8<0.\Delta=2^2-4(1)(3)=-8<0.

Hence p2+2p+3=0p^2+2p+3=0 has no real solutions. Therefore,

det⁡P≠0\det\mathbf P\neq0

for every real pp, and so

P is non-singular for all real p.\boxed{\mathbf P\text{ is non-singular for all real }p}.

(c)

解法一

思路

展开

使用二阶矩阵的逆矩阵公式：交换主对角线元素，改变副对角线元素的符号，再除以 (a) 求出的行列式。

答题过程

展开

For a non-singular matrix

(abcd),\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},

its inverse is

1ad−bc(d−b−ca).\frac1{ad-bc} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.

Therefore,

P−1=1p2+2p+3(p−p−13p−1).\boxed{ \mathbf P^{-1} =\frac1{p^2+2p+3} \begin{pmatrix} p&-p-1\\ 3&p-1 \end{pmatrix} }.