已知矩阵

其中 $p$ 为常数。

(a) 用含 $p$ 的最简形式确定 $\det \mathbf{P}$。

(b) 由此证明：对于所有实数 $p$，矩阵 $\mathbf{P}$ 都是非奇异矩阵（non-singular）。

(c) 用含 $p$ 的式子表示 $\mathbf{P}^{-1}$。

使用二阶矩阵的行列式公式 $ad-bc$，再展开并合并同类项。

承接 (a) 的结果，把行列式配方为一个平方与正常数之和。这样可直接证明它对所有实数 $p$ 都不为零。

From part (a),

For every real value of $p$,

Therefore, $\det\mathbf P\neq0$ for all real $p$, so $\mathbf P$ is non-singular for all real $p$.

也可以使用判别式论证。把 (a) 的行列式看作关于 $p$ 的二次式；若其判别式小于零，且二次项系数为正，它便不会在实数范围内等于零。

For $p^2+2p+3$, the discriminant is

Hence $p^2+2p+3=0$ has no real solutions. Therefore,

for every real $p$, so $\mathbf P$ is non-singular for all real $p$.

把行列式看作关于 $p$ 的函数。通过求导找出它的最小值，再说明该最小值大于零，所以行列式对所有实数 $p$ 都不为零。

From part (a), let

Then

At a stationary point,

Since $h''(p)=2>0$, this is the minimum point. Its value is

Thus $\det\mathbf P=h(p)\geqslant2>0$ for all real $p$. Therefore, $\mathbf P$ is non-singular for all real $p$.

使用二阶矩阵的逆矩阵公式：交换主对角线元素，改变副对角线元素的符号，再除以 (a) 求出的行列式。

For a non-singular matrix

its inverse is

Here, write

Then