已知函数 $f(x) = x^2 - \frac{7x - 4\sqrt{x}}{x^3}\quad x > 0$

(a) 证明方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[0.3, 0.4]$ 内有一个根 $\alpha$。

(b) 求出 $f'(x)$。

(c) 以 $x_0 = 0.3$ 作为 $\alpha$ 的首次近似值，对 $f(x)$ 应用一次 Newton–Raphson 迭代法以确定 $\alpha$ 的第二次近似值，结果保留 3 位小数。

方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[1.3, 1.5]$ 内有另一个根 $\beta$。

(d) 在区间 $[1.3, 1.5]$ 上应用一次线性插值法（linear interpolation）来确定 $\beta$ 的近似值，结果保留 3 位小数。

分别计算区间两个端点处的函数值。由于 $f$ 在 $x>0$ 上连续，只要两个函数值异号，便可由介值定理判断区间内存在一个根。

At the endpoints of the interval,

and

Since $f$ is continuous for $x>0$ and there is a change of sign, the equation $f(x)=0$ has a root $\alpha$ in the interval

先把分式改写为幂函数之和，再逐项求导。这样可以直接使用幂函数求导法则，减少使用商法则时的代数运算。

First rewrite $f(x)$ using indices:

Therefore,

Hence,

将首次近似值 $x_0=0.3$ 代入 Newton–Raphson 公式 $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，只迭代一次并将结果保留 3 位小数。

Using the Newton–Raphson formula

with $x_0=0.3$, we have

and

Thus

Therefore, to 3 decimal places,

先求 $f(1.3)$ 与 $f(1.5)$，再用连接两端点的直线与 $x$ 轴的交点作为根的线性插值近似值。

At the endpoints,

and

Using linear interpolation,

Therefore, to 3 decimal places,