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IAL 2025 Jan FP1 Q3

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2025 Jan Paper · Question 3

题目

Problem

The quadratic equation

3x2−2x+5=03x^2 - 2x + 5 = 0

has roots α\alpha and β\beta.

Without solving the equation,

(a) write down the value of (α+β)(\alpha + \beta) and the value of αβ\alpha\beta

(1)

(b) determine the value of α2+β2\alpha^2 + \beta^2

(2)

(c) determine a quadratic equation that has roots

α+1αandβ+1β\alpha + \frac{1}{\alpha}\quad \text{and}\quad \beta + \frac{1}{\beta}

giving your answer in the form px2+qx+r=0px^2 + qx + r = 0 where p,qp, q and rr are integers.

(4)
题目中文翻译

已知二次方程 3x2−2x+5=03x^2 - 2x + 5 = 0

的两个根为 α\alpha 和 β\beta。

在不解方程的情况下：

(a) 写出 (α+β)(\alpha + \beta) 的值和 αβ\alpha\beta 的值。

(b) 确定 α2+β2\alpha^2 + \beta^2 的值。

(c) 确定一个以 α+1α与β+1β\alpha + \frac{1}{\alpha}\quad \text{与}\quad \beta + \frac{1}{\beta}

为根的二次方程，将你的答案表示为 px2+qx+r=0px^2 + qx + r = 0 的形式，其中 p,q,rp, q, r 均为整数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

直接使用二次方程的根与系数关系。对于 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0，两根之和为 −ba-\frac ba，两根之积为 ca\frac ca。

答题过程

展开

Using the sum and product of the roots of 3x2−2x+5=03x^2-2x+5=0,

α+β=23,αβ=53.\boxed{\alpha+\beta=\frac23, \qquad \alpha\beta=\frac53}.

(b)

解法一

思路

展开

把平方和写成 (α+β)2−2αβ(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta，再代入 (a) 中的根之和与根之积。

答题过程

展开

Using

α2+β2=(α+β)2−2αβ,\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta,

we obtain

α2+β2= (23)2−2(53)= 49−103= −269.\begin{align*} \alpha^2+\beta^2 =&\,\left(\frac23\right)^2-2\left(\frac53\right)\\ =&\,\frac49-\frac{10}{3}\\ =&\,-\frac{26}{9}. \end{align*}

Therefore,

α2+β2=−269.\boxed{\alpha^2+\beta^2=-\frac{26}{9}}.

(c)

解法一

思路

展开

先求两个新根的和与积，再利用“二次方程等于 x2−x^2- 根之和乘 x+x+ 根之积”建立方程。最后把方程整体乘以 15，使所有系数均为整数。

答题过程

展开

Let the new roots be

u=α+1α,v=β+1β.u=\alpha+\frac1\alpha, \qquad v=\beta+\frac1\beta.

Their sum is

u+v= α+β+α+βαβ= 23+2353= 23+25= 1615.\begin{align*} u+v =&\,\alpha+\beta+\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\\ =&\,\frac23+\frac{\frac23}{\frac53}\\ =&\,\frac23+\frac25\\ =&\,\frac{16}{15}. \end{align*}

Their product is

uv= (α+1α)(β+1β)= αβ+αβ+βα+1αβ= αβ+α2+β2αβ+1αβ= 53+−26953+35= 53−2615+35= 815.\begin{align*} uv =&\,\left(\alpha+\frac1\alpha\right) \left(\beta+\frac1\beta\right)\\ =&\,\alpha\beta+\frac{\alpha}{\beta} +\frac{\beta}{\alpha}+\frac1{\alpha\beta}\\ =&\,\alpha\beta+\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta} +\frac1{\alpha\beta}\\ =&\,\frac53+\frac{-\frac{26}{9}}{\frac53}+\frac35\\ =&\,\frac53-\frac{26}{15}+\frac35\\ =&\,\frac8{15}. \end{align*}

Hence the required quadratic equation is

x2−1615x+815=0.x^2-\frac{16}{15}x+\frac8{15}=0.

Multiplying by 15 gives

15x2−16x+8=0.\boxed{15x^2-16x+8=0}.