题目

Problem

The rectangular hyperbola $H$ has equation $xy = 100$

The point $P\left(10t, \frac{10}{t}\right)$ , where $t \neq 0$ , lies on $H$ .

(a) Use calculus to show that the normal to $H$ at $P$ has equation

$t^3x - ty = 10(t^4 - 1)$

(4)

The normal to $H$ at $P$ meets the $y$ -axis at the point $Q$ .

Given that the area of triangle $OPQ$ , where $O$ is the origin, is $750$

(b) determine both possible pairs of coordinates of the point $P$ .

(5)

题目中文翻译

等轴双曲线 $H$ 的方程为 $xy = 100$ 。

点 $P\left(10t, \frac{10}{t}\right)$ （其中 $t \neq 0$ ）位于双曲线 $H$ 上。

(a) 利用微积分学证明，双曲线 $H$ 在点 $P$ 处的法线方程为 $t^3x - ty = 10(t^4 - 1)$

(b) 已知在点 $P$ 处的法线与 $y$ 轴交于点 $Q$ 。若以原点 $O$ 、点 $P$ 和点 $Q$ 为顶点的三角形 $OPQ$ 的面积为 $750$ ，确定点 $P$ 的两组所有可能的坐标。

解答

(a)

解法一

思路

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对 $xy=100$ 作隐式求导，求出点 $P$ 处的切线斜率；法线斜率是其负倒数。然后用点斜式并整理成题目要求的形式。

答题过程

展开

Differentiating $xy=100$ implicitly with respect to $x$ ,

x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=0.

Hence

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac yx.

At $P\left(10t,\frac{10}{t}\right)$ , the gradient of the tangent is

m_{\mathrm{tangent}} =-\frac{10/t}{10t} =-\frac1{t^2}.

Therefore, the gradient of the normal is $t^2$ . Its equation is

\begin{align*} y-\frac{10}{t} =&\,t^2(x-10t)\\ ty-10 =&\,t^3x-10t^4\\ t^3x-ty =&\,10(t^4-1), \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

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先令 $x=0$ 求法线的 $y$ 轴截距 $Q$ 。以竖直线段 $OQ$ 为底，点 $P$ 到 $y$ 轴的水平距离为高；因为面积和长度必须非负，列式时要保留绝对值。解出所有实数 $t$ 后，再代回点 $P$ 的参数坐标并正确配对。

答题过程

展开

At $Q$ , $x=0$ . Substituting into the normal equation gives

-ty=10(t^4-1).

Since $t\ne0$ ,

Q=\left(0,-\frac{10(t^4-1)}{t}\right).

Taking $OQ$ as the base, the perpendicular height from $P$ to the $y$ -axis is $|10t|$ . Hence

\begin{align*} 750 =&\,\frac12 \left|-\frac{10(t^4-1)}{t}\right| |10t|\\ =&\,50|t^4-1|. \end{align*}

Therefore,

|t^4-1|=15.

Thus

t^4-1=15 \quad\text{or}\quad t^4-1=-15.

The first equation gives $t^4=16$ , so the real solutions are $t=\pm2$ . The second gives $t^4=-14$ , which has no real solutions.

Using

P=\left(10t,\frac{10}{t}\right),

we obtain

\boxed{P=(20,5)\quad\text{or}\quad P=(-20,-5)}.

IAL 2025 Jan FP1 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程