等轴双曲线 $H$ 的方程为 $xy=100$。

点 $P\big(10t,\frac{10}{t}\big)$（其中 $t\neq0$）位于 $H$ 上。

(a) 利用微积分证明，$H$ 在 $P$ 处的法线方程为

$H$ 在 $P$ 处的法线与 $y$ 轴相交于点 $Q$。

已知三角形 $OPQ$ 的面积为 $750$，其中 $O$ 为原点，

(b) 确定点 $P$ 的两组可能坐标。

对 $xy=100$ 作隐式求导，求出点 $P$ 处的切线斜率；法线斜率是其负倒数。然后用点斜式并整理成题目要求的形式。

Differentiating $xy=100$ implicitly with respect to $x$,

Hence

At $P\big(10t,\frac{10}{t}\big)$, the gradient of the tangent is

Therefore, the gradient of the normal is $t^2$. Its equation is

as required.

先令 $x=0$ 求法线的 $y$ 轴截距 $Q$。以竖直线段 $OQ$ 为底，点 $P$ 到 $y$ 轴的水平距离为高；因为面积和长度必须非负，列式时要保留绝对值。解出所有实数 $t$ 后，再代回点 $P$ 的参数坐标并正确配对。

At $Q$, $x=0$. Substituting into the normal equation gives

Since $t\ne0$,

Taking $OQ$ as the base, the perpendicular height from $P$ to the $y$-axis is $|10t|$. Hence

Therefore,

Thus

The first equation gives $t^4=16$, so the real solutions are $t=\pm2$. The second gives $t^4=-14$, which has no real solutions.

Using

for $t=2$ we obtain

For $t=-2$,

Hence the two possible positions are